고등 1학년 · 수학 LEARNING GUIDE
고1 수학 학습 가이드
공통수학의 식·도형·함수 사이를 오가며 조건 읽기
고1 수학은 중학교 계산을 더 복잡한 식과 조건에 적용하는 과정이에요. 다항식·방정식, 경우의 수·행렬, 좌표·집합·함수를 연결하되 학교의 공통수학 이수 순서에 맞춰 필요한 단원부터 살펴보세요.
단원별 내용 살펴보기먼저 준비해요
공부를 시작하기 전에
- 인수분해·이차방정식·이차함수의 기본 계산을 다시 확인해요. 복잡한 문제에서 막혔다면 처음 필요한 계산까지 내려가 봅니다.
- 분모, 근호 안, 전체집합처럼 가능한 값의 범위를 정하는 조건을 먼저 적어요. 답을 얻은 뒤에도 조건은 남아 있어야 합니다.
01 · 학습 영역
다항식과 나머지정리의 의미
- 다항식의 연산
- 항등식과 미정계수
- 나머지정리와 인수정리
- 고차식 인수분해
- 나머지정리 대입값
다항식을 전개·정리·인수분해하며 같은 식을 여러 형태로 읽어요. 항등식은 모든 값에서 성립하는 조건이고, 나머지정리는 나누는 식을 0으로 만드는 값을 대입하는 이유와 연결합니다.
직접 생각해 볼 연습 예시
P(x)를 x+2로 나눈 나머지가 7이라고 해요. P(−2)는 얼마이며, 왜 그 값으로 확인할 수 있나요?
풀이와 확인할 이유 보기
P(x)=(x+2)Q(x)+7로 나타낼 수 있어요. x=−2에서는 첫 항이 0이 되므로 P(−2)=7입니다. 대입값은 2가 아니라 −2예요.
02 · 학습 영역
복소수·방정식·부등식의 조건 비교
- 복소수의 뜻과 계산
- 판별식과 근과 계수
- 이차함수와 이차방정식
- 삼차·사차방정식
- 절댓값·이차부등식
- i 거듭제곱 주기
복소수의 계산과 i의 거듭제곱 주기를 정리해요. 방정식의 근과 그래프의 교점, 부등식이 나타내는 구간을 연결하며 판별식과 근·계수 관계를 조건에 맞게 사용합니다.
직접 생각해 볼 연습 예시
x²−4x+3≤0을 그래프로 설명하고 해의 범위를 구해 보세요.
풀이와 확인할 이유 보기
식은 (x−1)(x−3)이고 위로 열린 포물선이에요. 그래프가 x축 이하인 구간은 두 근 사이이므로 1≤x≤3입니다. 등호가 있으므로 끝값도 포함해요.
03 · 학습 영역
경우의 수와 행렬의 연산 순서
- 합의 법칙과 곱의 법칙
- 순열과 조합
- 행렬의 뜻과 연산
- 행렬 곱의 순서
합의 법칙과 곱의 법칙은 선택이 나뉘는지 이어지는지 구별해 적용해요. 순열·조합은 역할과 순서의 유무를 확인하고, 행렬은 크기와 곱의 순서를 살펴봅니다.
직접 생각해 볼 연습 예시
다섯 명 중 세 명의 대표를 고르는 경우와, 회장·부회장·총무를 한 명씩 정하는 경우의 수는 같을까요?
풀이와 확인할 이유 보기
역할 없는 대표 선택은 5C3=10가지예요. 세 역할을 구별하면 5×4×3=60가지입니다. 같은 세 사람이라도 맡은 역할이 다르면 다른 결과예요.
04 · 학습 영역
좌표와 도형의 방정식 연결
- 두 점 사이 거리와 내분점
- 직선의 방정식
- 원의 방정식
거리·내분점·직선·원의 조건을 좌표식으로 옮겨요. 도형의 이동과 대칭도 점의 좌표가 어떻게 달라지는지 살펴보고, 계산한 점을 그림의 조건과 대조합니다.
직접 생각해 볼 연습 예시
중심이 (1,−2)이고 반지름이 3인 원의 방정식을 적고, 점 (4,−2)가 원 위에 있는지 확인해 보세요.
풀이와 확인할 이유 보기
방정식은 (x−1)²+(y+2)²=9예요. (4,−2)를 넣으면 9+0=9이므로 원 위의 점입니다. 중심에서의 거리도 3이에요.
05 · 학습 영역
집합과 명제에서 범위·반례 확인
- 집합의 연산
- 명제와 조건
- 여집합의 기준
집합 연산은 원소와 전체집합을 먼저 정하고 표현해요. 명제는 참·거짓을 구분한 뒤 조건의 방향을 확인하며, 거짓이라면 조건을 만족하지만 결론을 어기는 반례를 찾습니다.
직접 생각해 볼 연습 예시
전체집합 U={1,2,3,4,5,6}, A={2,4,6}일 때 A의 여집합을 구해 보세요. U를 바꾸면 답도 같을까요?
풀이와 확인할 이유 보기
현재 여집합은 {1,3,5}예요. 여집합은 전체집합에서 A를 제외한 집합이므로 U에 새로운 원소가 추가되면 답이 달라질 수 있습니다.
06 · 학습 영역
함수의 정의역·합성·역함수
- 합성함수·역함수·유리함수·무리함수
- 분모 제외값
- 무리함수 정의역
함수의 입력 범위를 정한 뒤 합성에서는 안쪽 함수부터 계산해요. 역함수는 입력과 출력을 되돌리는 관계를 확인하고, 유리함수·무리함수는 식이 정의되는 조건과 그래프를 함께 봅니다.
직접 생각해 볼 연습 예시
f(x)=√(x−3), g(x)=2x라면 f(g(x))의 식과 정의역은 무엇인가요?
풀이와 확인할 이유 보기
안쪽 g(x)를 먼저 넣으면 f(g(x))=√(2x−3)이에요. 근호 안이 0 이상이어야 하므로 정의역은 x≥3/2입니다.
학생과 보호자가 함께
공부한 뒤에는 이런 점을 살펴요
문제를 많이 풀었다는 기록과 조건을 스스로 정리했다는 기록을 함께 보세요. 학교 진도에서 어떤 단원이 서로 이어지는지 묻고, 막힌 부분을 한 계산이나 한 조건으로 좁히도록 도와주세요.
- 말로 설명하기오늘 본 예시의 풀이를 덮고, 왜 그 방법을 골랐는지 설명해 보세요.
- 스스로 수정하기틀린 답에서 바뀌어야 할 숫자·표현·조건을 표시하고 수정 이유를 남겨요.
- 새 장면에서 확인하기학교 과제나 다른 예시에서도 같은 기준을 찾는지 확인하고 질문할 부분을 골라요.
내용과 습관을 함께
내 공부에서 필요한 도움을 찾아요
배울 내용을 살펴봤다면 학습 환경과 습관도 돌아보고, 선생님과 나눌 질문을 준비해 보세요.