직사각형·마름모·정사각형의 관계를 이해하는 방법
중2 도형 문제에서 직사각형, 마름모, 정사각형을 각각 따로 외운 학생은 도형의 모양이 조금만 달라져도 판단을 망설일 수 있습니다. 특히 “정사각형은 직사각형인가?”, “마름모는 평행사변형인가?”와 같은 질문에서 이름의 느낌만으로 답을 고르면 오답이 생깁니다. 연수동중2수학과외 수업에서는 도형의 이름보다 어떤 조건을 만족하는지를 먼저 확인하도록 지도합니다.
도형의 이름보다 성질을 먼저 확인하기
직사각형은 네 각이 모두 직각인 사각형입니다. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이고, 정사각형은 네 각이 모두 직각이면서 네 변의 길이도 모두 같은 사각형입니다. 따라서 정사각형은 직사각형의 조건과 마름모의 조건을 동시에 만족하는 특별한 도형으로 볼 수 있습니다.
이 관계를 이해할 때 “정사각형은 직사각형보다 작다”처럼 도형의 크기를 비교하는 방식으로 생각하면 안 됩니다. 여기서 특별하다는 말은 크기나 넓이가 아니라 성질의 조건이 더해져 있다는 뜻입니다. 직사각형 중에서 네 변의 길이까지 모두 같아지면 정사각형이 되고, 마름모 중에서 네 각이 모두 직각이 되면 역시 정사각형이 됩니다.
포함 관계를 그림으로 정리하기
먼저 사각형 전체를 가장 큰 범위로 놓습니다. 그 안에 평행사변형이 있고, 평행사변형 중 네 각이 직각인 도형이 직사각형입니다. 또 네 변의 길이가 같은 도형이 마름모입니다. 직사각형과 마름모가 겹치는 부분이 바로 정사각형입니다.
이를 단순한 도형 그림이나 분류표로 만들어 보면 관계가 분명해집니다.
- 정사각형은 직사각형이다.
- 정사각형은 마름모이다.
- 직사각형이 모두 정사각형인 것은 아니다.
- 마름모가 모두 정사각형인 것도 아니다.
예를 들어 가로가 6cm, 세로가 3cm인 직사각형은 네 각이 모두 직각이지만 네 변의 길이가 같지 않으므로 정사각형은 아닙니다. 반대로 네 변이 모두 같아도 각이 직각이 아닐 수 있으므로 모든 마름모를 정사각형이라고 할 수 없습니다.
조건을 하나씩 표시하며 판단하기
문제에서 여러 도형의 공통점과 차이점을 묻는다면 그림의 외형부터 보지 말고 조건을 표시합니다. 먼저 네 변의 길이가 같은지, 마주 보는 변이 평행한지, 네 각이 직각인지 확인합니다. 그다음 조건이 몇 가지 겹치는지를 살펴보면 도형의 종류를 판단하기 쉽습니다.
가령 어떤 사각형의 네 각이 모두 직각이고 네 변의 길이도 모두 같다고 주어졌다면, 두 조건을 따로 처리하지 말고 동시에 만족하는 도형을 찾아야 합니다. 이때 답은 정사각형입니다. 반면 네 각이 직각이라는 조건만 있다면 직사각형이라고 할 수 있지만, 네 변의 길이가 같다는 정보가 없으므로 정사각형이라고 단정할 수 없습니다.
성질을 거꾸로 적용하는 연습
기본 문제에서는 도형 이름이 직접 제시되지만 응용 문제에서는 성질만 주어지는 경우가 많습니다. “한 사각형의 네 변은 모두 같고 네 각은 모두 직각이다”라는 문장을 읽었을 때 도형 이름을 말할 수 있어야 합니다. 반대로 “정사각형의 성질을 쓰시오”라는 문제에서는 직사각형의 성질과 마름모의 성질을 함께 떠올릴 수 있어야 합니다.
이때 학생이 자주 하는 실수는 한 가지 성질만 보고 결론을 내리는 것입니다. 네 변이 같다는 이유만으로 정사각형이라 하거나, 네 각이 직각이라는 이유만으로 마름모라고 하는 경우가 이에 해당합니다. 문제의 조건에 밑줄을 긋고 ‘변’, ‘각’, ‘평행’으로 나누어 기록하면 필요한 성질을 빠뜨리는 일이 줄어듭니다.
오늘 할 수 있는 정리 방법
노트에 사각형, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형을 적고 각 도형의 조건을 표로 만들어 보세요. 같은 성질은 반복해서 쓰기보다 연결선이나 괄호로 표시합니다. 예를 들어 정사각형 칸에서 직사각형의 조건과 마름모의 조건을 모두 연결하면 포함 관계를 한눈에 확인할 수 있습니다.
그다음 도형 이름을 가린 채 조건만 보고 이름을 맞히는 문제를 직접 만들어 봅니다. “네 변이 같다”, “네 각이 직각이다”, “마주 보는 변이 평행하다”와 같은 조건을 한 개 또는 두 개씩 조합하면서 어떤 도형까지 판단할 수 있는지 확인하면 단순 암기에서 벗어날 수 있습니다.
연수동 중2수학과외에서는 도형을 외형으로 분류하기보다 조건의 포함 관계를 읽는 연습을 중요하게 다룹니다. 정사각형을 직사각형과 마름모의 공통 부분으로 이해하면 성질을 묻는 문제뿐 아니라 도형 사이의 관계를 설명하는 문제에서도 근거를 갖고 답할 수 있습니다.