확률 문제에서 정답이 계속 흔들리는 이유는 계산이 부족해서가 아니라, 분모에 해당하는 ‘전체 경우’를 잘못 정하는 데 있는 경우가 많습니다. 어떤 결과를 한 가지 경우로 볼 것인지, 순서를 구분할 것인지, 조건이 붙은 뒤 전체가 어떻게 달라지는지를 먼저 판단해야 합니다.
전체 경우를 바로 세지 말고 실험 조건부터 확인하기
문제를 읽자마자 조합이나 확률 공식을 적용하지 말고, 무엇을 한 번의 결과로 보는지 문장으로 정리해야 합니다. 동전을 두 번 던지는 문제라면 앞면과 뒷면의 순서를 구분하는지, 물건을 뽑는 문제라면 뽑은 순서를 결과로 인정하는지부터 확인합니다.
예를 들어 두 사람을 순서대로 뽑는다면 ‘A를 먼저 뽑고 B를 뽑는 경우’와 ‘B를 먼저 뽑고 A를 뽑는 경우’는 다른 결과입니다. 반대로 단순히 두 사람을 뽑은 집합만 묻는다면 순서를 구분하지 않을 수 있습니다. 문제의 행동 과정과 요구하는 결과가 일치하는지 확인해야 합니다.
분모와 분자의 기준을 똑같이 맞추기
확률은 원하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수로 계산하지만, 분자와 분모를 서로 다른 기준으로 세면 결과가 틀립니다. 전체 경우는 순서를 구분해 세면서 원하는 경우는 순서를 무시하거나, 전체는 조건이 적용되기 전으로 두고 원하는 경우만 조건 이후로 세는 실수가 대표적입니다.
따라서 경우를 세기 전에 다음 두 문장을 완성해보는 것이 좋습니다.
- 전체 경우: 조건을 만족하는 모든 결과는 무엇인가?
- 원하는 경우: 그중 문제에서 요구한 결과는 무엇인가?
두 문장에서 ‘결과’의 단위가 같아야 합니다. 순서가 포함된 결과라면 양쪽 모두 순서를 포함하고, 순서를 제외한 결과라면 양쪽 모두 같은 방식으로 제외해야 합니다.
조건부확률에서는 전체가 바뀌는지 먼저 보기
‘이미 어떤 일이 일어났을 때’라는 조건이 붙으면 전체 경우가 처음과 달라질 수 있습니다. 이때 처음의 전체 경우를 그대로 분모에 두면 안 됩니다. 조건을 만족하는 경우만 남긴 뒤, 그 안에서 원하는 경우가 차지하는 비율을 구해야 합니다.
예를 들어 여러 학생 중 특정 조건을 만족하는 학생이 선택되었다면, 이후의 확률에서 전체는 처음의 모든 학생이 아니라 그 조건을 만족하는 학생 집단입니다. 문제의 조건을 읽은 뒤 가능한 결과를 다시 줄여서 목록으로 만들면 분모를 잘못 잡는 일이 줄어듭니다.
경우의 수를 표나 목록으로 검산하기
경우가 많지 않다면 공식을 사용하기 전에 실제 결과를 간단히 나열해보는 것이 효과적입니다. 두 번의 시행에서 순서를 구분한다면 첫 번째 결과와 두 번째 결과를 각각 행과 열에 배치해 누락된 경우가 없는지 확인할 수 있습니다.
경우가 많을 때는 전체를 한 번에 세기보다 단계별로 나눕니다. 첫 단계에서 가능한 선택 수를 세고, 각 선택 뒤 두 번째 단계에서 가능한 수를 곱합니다. 단, 앞 단계의 선택에 따라 다음 단계의 경우 수가 달라진다면 같은 수를 무조건 곱하지 말고 각각 나누어 더해야 합니다.
송도동고3수학과외에서 활용하는 점검 순서
- 문제에서 한 번의 결과가 무엇인지 표시합니다.
- 순서를 구분해야 하는지 확인합니다.
- 중복을 허용하는지, 이미 선택된 대상이 다시 나올 수 있는지 봅니다.
- 조건이 붙은 뒤 가능한 전체가 달라지는지 확인합니다.
- 분자와 분모를 같은 기준으로 세었는지 검산합니다.
틀린 문제를 다시 볼 때는 정답 계산보다 먼저 자신이 정한 전체 경우를 그림이나 짧은 문장으로 적어보세요. ‘왜 이것을 전체로 보았는가’를 설명하지 못한다면 계산을 다시 하는 것보다 기준을 바로잡는 일이 우선입니다.
송도동고3수학과외에서는 확률 문제를 풀 때 공식 암기보다 경우를 정의하는 과정을 먼저 점검합니다. 전체 경우를 정확히 설정하는 습관이 생기면 복잡한 문제에서도 분모를 임의로 정하는 실수가 줄고, 풀이의 근거도 분명해집니다.