문제의 조건을 읽다가 어떤 경우를 따로 세어야 할지 판단하지 못하면, 계산 공식보다 먼저 문제의 구조에서 막히게 됩니다. 특히 경우의 수에서는 가능한 상황을 빠짐없이 세는 동시에 같은 대상을 두 번 세지 않아야 하므로, 무작정 나누기보다 ‘한 가지 기준으로 모든 상황을 구분할 수 있는가’를 확인하는 과정이 필요합니다.
경우를 나누는 이유부터 확인하기
경우를 나눈다는 것은 문제를 여러 조각으로 쪼개는 것이 아니라, 전체 상황을 서로 겹치지 않는 부분으로 정리하는 것입니다. 예를 들어 어떤 사람이 특정 자리를 선택하는지에 따라 뒤의 선택 방법이 달라진다면, 그 선택 여부를 기준으로 나눌 수 있습니다. 반대로 나눈 뒤의 경우들이 서로 겹친다면 같은 결과를 반복해서 세게 되고, 일부 상황이 빠지면 답이 작아집니다.
따라서 문제를 보자마자 ‘몇 가지 경우로 나눌까?’라고 생각하기보다 먼저 다음을 확인해야 합니다. 조건에 따라 결과가 실제로 달라지는가, 한 결과가 두 가지 경우에 동시에 포함될 수 있는가, 나눈 경우를 합치면 원래 가능한 전체 상황이 되는가를 차례로 살펴보는 것입니다.
나누어야 하는 대표적인 신호
문장 안에 특정 조건이 등장하고 그 조건의 충족 여부에 따라 선택 방법이 달라진다면 경우를 나눌 가능성이 큽니다. ‘적어도 한 명은 포함’, ‘특정 사람이 반드시 선택’, ‘같은 종류가 연속하지 않음’, ‘남학생과 여학생이 적어도 한 명씩’처럼 한 번에 계산하기 어려운 조건이 대표적입니다.
또한 같은 방식의 계산을 전체에 적용할 수 없을 때도 나누기가 필요합니다. 어떤 경우에는 자리를 정하는 방법이 여러 가지이고, 다른 경우에는 남은 선택지가 줄어들 수 있습니다. 이때 전체를 한 번에 공식에 넣으면 서로 다른 구조를 같은 것으로 처리하게 됩니다.
반대로 조건이 모든 상황에 똑같이 적용되고 선택 과정도 일정하다면 굳이 경우를 나눌 필요가 없습니다. 경우를 나누는 것이 풀이를 복잡하게 만들 뿐, 계산 방법이나 결과에 차이를 만들지 않는다면 하나의 방식으로 처리하는 편이 낫습니다.
좋은 기준과 나쁜 기준의 차이
좋은 기준은 각 결과가 오직 하나의 경우에만 들어가도록 만들어집니다. 예를 들어 ‘특정 학생이 포함되는 경우와 포함되지 않는 경우’는 모든 결과를 빠짐없이 나누면서 동시에 겹치지 않습니다. 특정 학생이 포함된 결과가 두 번째 경우에도 들어갈 수 없기 때문입니다.
반면 ‘첫 번째 자리에 특정 학생이 오는 경우’와 ‘남학생이 포함되는 경우’처럼 기준의 성격이 다르면 겹치는 결과가 생길 수 있습니다. 첫 번째 자리에 남학생이 앉은 결과는 두 경우에 모두 포함될 수 있습니다. 이런 기준을 사용하려면 겹치는 부분을 따로 조정해야 하므로, 고1 학생이 처음 경우를 나눌 때는 가능한 한 한 가지 조건의 충족 여부를 기준으로 삼는 것이 안전합니다.
부개여고고1수학과외에서 경우의 수를 점검할 때도 새로운 공식을 먼저 찾기보다, 학생이 어떤 기준으로 상황을 나누었는지 풀이 첫 줄에서 확인합니다. 기준이 명확하면 이후의 곱셈이나 덧셈은 비교적 자연스럽게 이어지지만, 기준이 모호하면 계산이 맞아 보여도 빠진 경우와 중복된 경우를 발견하기 어렵습니다.
덧셈과 곱셈을 구분하는 순간
경우를 나눈 뒤 각 경우의 결과를 합치는 상황에서는 덧셈을 사용합니다. 예를 들어 어떤 조건을 만족하는 방법이 A의 경우와 B의 경우로 나뉘고 두 경우가 겹치지 않는다면 전체 방법은 A와 B를 더해 구합니다. 여기서 중요한 것은 ‘A와 B가 동시에 일어날 수 없는가’입니다.
한 경우 안에서 여러 선택을 차례로 해야 한다면 곱셈이 사용됩니다. 먼저 한 사람을 정하고 그다음 자리를 정하는 것처럼 선택이 이어질 때는 각 단계의 방법 수를 곱합니다. 즉, 경우를 나누는 기준을 세운 뒤에는 ‘서로 다른 경우를 합치는가’, ‘한 경우 안에서 선택을 이어 가는가’를 구분해야 합니다.
학생들이 자주 하는 실수는 조건이 여러 개라는 이유만으로 무조건 곱하는 것입니다. 실제로는 조건에 따라 전체 상황을 먼저 나누어야 하는데, 모든 조건을 동시에 적용한다고 생각하면서 가능한 경우를 놓치기도 합니다. 풀이를 시작하기 전 ‘이것은 여러 상황 중 하나를 고르는 것인지, 하나의 상황 안에서 순서대로 선택하는 것인지’를 말로 설명해 보면 계산 기호를 잘못 선택하는 일이 줄어듭니다.
나눈 뒤 빠짐과 중복을 확인하는 방법
경우를 나눈 뒤에는 각 경우의 특징을 한 문장으로 적어 보는 것이 좋습니다. 예를 들어 ‘특정 사람이 선택된 경우’, ‘선택되지 않은 경우’처럼 구분을 분명히 적고, 각 결과가 어느 문장에 속하는지 확인합니다. 하나의 결과가 두 문장에 모두 해당하거나 어느 문장에도 해당하지 않는다면 기준을 다시 세워야 합니다.
작은 수로 직접 목록을 만들어 보는 방법도 유용합니다. 모든 결과를 완전히 나열할 필요는 없지만, 대표적인 결과 몇 개를 골라 어느 경우에 포함되는지 표시하면 기준의 겹침을 쉽게 발견할 수 있습니다. 경우의 수가 많아 보일수록 머릿속으로만 판단하지 말고 표나 간단한 분류도를 사용하는 편이 정확합니다.
답을 구한 뒤에는 조건을 반대로 생각해 보는 점검도 가능합니다. ‘특정 학생이 포함된 경우’와 ‘포함되지 않은 경우’를 더했을 때 조건을 고려하지 않은 전체 경우와 일치하는지 비교하는 방식입니다. 전체 경우와 맞지 않는다면 계산 과정이 아니라 분류 단계에서 문제가 생겼을 가능성이 큽니다.
문제를 볼 때의 실제 풀이 순서
먼저 문제에서 구하는 대상을 정확히 표시합니다. 사람을 뽑는지, 자리를 배열하는지, 조건을 만족하는 선택의 수를 구하는지에 따라 분류 기준이 달라질 수 있습니다. 그다음 결과를 달라지게 만드는 조건을 찾고, 그 조건의 여부에 따라 나누었을 때 각 부분의 계산 방법이 달라지는지 살핍니다.
나눌 필요가 있다고 판단했다면 기준을 짧은 문장으로 적습니다. 이후 각 경우가 서로 겹치지 않는지 확인하고, 각각의 경우 안에서 선택을 순서대로 계산합니다. 마지막으로 경우들을 더하기 전에 빠진 상황이 없는지 다시 살펴봅니다. 이 순서를 지키면 문제를 보자마자 공식부터 대입하는 습관을 줄일 수 있습니다.
부개여고고1수학과외 학습에서 중요한 변화는 어려운 문제를 많이 푸는 데서만 생기지 않습니다. 틀린 문제를 다시 볼 때도 답만 확인하지 말고, ‘나는 어떤 기준으로 나누었는가’, ‘두 경우가 겹치지는 않았는가’, ‘나누지 않아도 되는 상황을 괜히 복잡하게 만들지는 않았는가’를 기록해야 합니다. 같은 문제를 며칠 뒤 다시 풀면서 분류 기준을 먼저 세울 수 있다면 경우의 수 문제를 읽는 힘이 실제로 자라고 있는 것입니다.
결국 경우를 나눌지 말지는 문제의 조건이 결과의 구조를 바꾸는지를 보고 판단해야 합니다. 서로 겹치지 않고 전체를 빠짐없이 나누는 기준을 찾은 뒤, 각 경우 안의 선택은 곱하고 경우 사이의 결과는 더하는 흐름을 익히면 낯선 문제에서도 풀이의 출발점을 안정적으로 만들 수 있습니다.