혁신도시 수학과외

격자에서 출발점과 도착점 사이의 최단 경로 수는 셀 수 있지만, 반드시 지나야 하는 중간 경유지가 추가되면 조건을 놓치는 학생이 많습니다. 전체 경로를 한 번에 세거나, 경유지를 지나는 길을 빼는 문제로 잘못 읽으면 계산은 정확해도 답이 달라집니다. 특히 틀린 풀이를 고친 뒤 답만 새로 적어 두면 다음 문제에서 같은 판단을 반복하기 쉽습니다.

먼저 ‘반드시 지난다’는 조건을 표시합니다

경유지가 정해진 길의 선택을 나누어 세는 핵심은 출발점에서 경유지까지, 경유지에서 도착점까지를 서로 다른 두 구간으로 보는 것입니다. 각 구간에서 가능한 선택을 센 뒤 두 수를 곱하는 이유는 첫 구간의 한 경로마다 둘째 구간의 모든 경로를 이어 붙일 수 있기 때문입니다.

문제를 읽을 때는 출발점, 경유지, 도착점을 순서대로 적고, 각 구간에서 필요한 오른쪽 이동과 위쪽 이동의 횟수를 따로 써 보는 편이 좋습니다. 경유지가 ‘지나도 된다’인지 ‘반드시 지나야 한다’인지, 최단 경로만 묻는지 모든 이동을 허용하는지도 이 단계에서 확인합니다.

예시 문제로 선택을 나누어 세기

예를 들어 출발점 A를 좌표 (0,0), 중간 경유지 B를 (2,1), 도착점 C를 (4,3)이라 하고, 오른쪽 또는 위쪽으로만 이동하는 최단 경로 중 B를 반드시 지나는 경우의 수를 묻는 상황을 생각해 보겠습니다. A에서 B까지는 오른쪽 2번, 위쪽 1번을 해야 하므로 모두 3번의 이동 중 위쪽 이동 1번의 위치를 고르는 3가지가 있습니다.

B에서 C까지는 오른쪽 2번, 위쪽 2번을 해야 합니다. 모두 4번의 이동 중 위쪽 이동 2번의 위치를 고르면 4×3÷2=6가지입니다. 따라서 B를 지나는 전체 최단 경로 수는 첫 구간 3가지와 둘째 구간 6가지를 이어 붙인 3×6=18가지입니다. 답은 18가지입니다.

검산할 때는 A에서 C까지 필요한 이동이 오른쪽 4번, 위쪽 3번이라는 사실만으로 7번 이동 중 3번을 고른다고 계산하지 않습니다. 그 값 35는 B를 지나는지와 관계없이 가능한 모든 최단 경로 수입니다. 18개의 경로는 각각 A에서 B를 거친 뒤 C로 가므로 원래 조건을 만족하며, 반대로 B를 지나는 모든 경로는 B 앞뒤의 두 구간 경로로 하나씩 나뉘므로 빠지거나 중복될 수 없습니다.

오답의 위치를 질문으로 구분합니다

가령 학생이 35라고 답했다면 바로 조합 공식을 다시 설명하기보다 “문제에서 꼭 지나야 하는 점은 어디인가요?”, “지금 센 7번의 이동 안에는 B를 지나지 않는 길도 들어 있나요?”, “B 전과 후에 필요한 이동 수를 따로 말해 볼 수 있나요?”라고 묻습니다. 첫 질문에 경유지를 표시하지 못하면 문제 읽기 단계, 표시했지만 구간을 나누지 못하면 개념 연결 단계, 구간 수는 맞는데 곱하지 못하면 식 세우기 단계의 보완이 필요합니다.

3과 6을 구했는데 3+6=9라고 쓴 경우에는 계산 실수로 단정하지 않습니다. “A에서 B로 가는 한 길을 정했다면 B에서 C로 가는 길은 몇 개를 붙일 수 있나요?”라고 물어 선택이 연속되는 구조를 확인합니다. 덧셈은 서로 겹치지 않는 경우를 합칠 때, 곱셈은 앞선 선택마다 뒤 선택을 연결할 때 쓴다는 차이를 말과 그림 없는 이동 순서로 설명할 수 있어야 합니다.

학생이 이미 하는 일을 풀이 틀로 활용합니다

이동을 R, U 같은 문자로 적어 경로를 확인하는 학생이라면 그 습관을 유지합니다. A에서 B까지의 예를 RRU, RUR, URR처럼 직접 적은 뒤, B에서 C까지의 네 번 이동에서 U 두 자리의 위치를 고르는 방식으로 옮겨 가게 합니다. 작은 수에서는 나열로 구조를 보고, 수가 커지면 같은 구조를 조합 계산으로 압축하는 연결이 생깁니다.

반대로 공식을 먼저 쓰는 학생은 분자와 분모를 외운 결과인지 점검합니다. ‘전체 이동 수 중 어느 이동의 자리 수를 고르는가’를 문장으로 말하게 하고, 오른쪽 이동의 자리를 골라도 같은 수가 나온다는 점을 비교합니다. 교사가 구간선을 그어 주거나 식의 빈칸을 제공한 결과는 도움을 받은 확인으로 남기고, 다음 문제에서는 경유지와 각 구간의 이동 수를 학생이 스스로 표시했는지 별도로 확인합니다.

새 문제는 식을 주지 않고 다시 확인합니다

재확인 문제로는 A(0,0)에서 D(5,4)까지 오른쪽 또는 위쪽으로만 가는 최단 경로 중 P(1,2)를 반드시 지나는 경로 수를 물을 수 있습니다. 이 문제에서는 어떤 식도 제시하지 않고, 학생이 먼저 A-P와 P-D로 나눌 필요를 판단하는지 봅니다. A-P는 오른쪽 1번과 위쪽 2번이므로 3가지, P-D는 오른쪽 4번과 위쪽 2번이므로 15가지여서 답은 45가지입니다.

이 답을 낸 뒤에는 A-P에서 이동 순서를 하나 말해 보고, 그 뒤에 P-D 경로를 하나 붙여 실제로 D에 도착하는지 확인합니다. 또한 전체 A-D 최단 경로 수가 9번 이동 중 위쪽 4번을 고른 126가지라는 값과 45를 비교해, 경유지 조건을 붙인 수가 전체 수보다 작다는 점을 점검할 수 있습니다. 이는 답을 증명하는 방법이 아니라 계산 결과가 조건과 어긋나지 않는지 보는 보조 확인입니다. 경유지가 둘 이상이거나 반드시 지나지 않아도 되는 조건까지 다루는 것은 이 판단이 안정된 뒤의 확장 활동으로 구분합니다.

고친 결과에는 바뀐 이유를 한 줄 남깁니다

혁신도시 수학과외 상담이나 수업에서는 수정한 풀이를 보여줄 때 지운 흔적보다 판단의 변화가 드러나게 정리하는 것이 유용합니다. 예를 들어 “35에서 18로 수정: 전체 최단 경로를 세었고, B를 반드시 지나야 하므로 A-B와 B-C로 나누어 3×6을 계산했다”처럼 답, 바꾼 이유, 바꾼 계산을 짧게 적습니다. 이 기록은 틀렸다는 표시가 아니라 다음에 확인할 질문을 남기는 자료가 됩니다.

답만 수정한 경우에는 경유지 조건을 놓쳤는지, 곱셈 원리를 몰랐는지 알기 어렵습니다. 반면 수정 이유가 남아 있으면 다음 과제에서 ‘경유지 표시를 먼저 했는가’, ‘두 구간의 이동을 따로 셌는가’, ‘곱한 이유를 설명하는가’를 차례로 확인할 수 있습니다. 같은 문제를 베끼기보다 숫자와 경유지 위치를 바꾼 문제에서 이 세 행동이 유지되는지를 보는 편이 좋습니다.

다음 학습에서는 한 문제를 풀기 전에 출발점·경유지·도착점을 적고, 풀이를 고쳤다면 바뀐 답 아래에 ‘어떤 조건을 반영해 무엇을 바꿨는지’를 한 문장으로 기록해 보세요.

상담 전에는 경유지 조건이 있는 최근 문제 2~3개와, 처음 풀이 및 수정 풀이가 함께 보이는 사진 또는 공책 페이지를 준비합니다. 상담에서는 학생이 전체 경로를 세는지, 두 구간을 나누는지, 각 구간의 이동 수를 말할 수 있는지, 수정 이유를 스스로 적는지를 확인할 질문을 정합니다. 이후에는 작은 격자에서 경로를 나열할지, 조합 계산으로 바로 표현할지와 함께, 과제에 ‘수정 전 판단·수정 이유’ 칸을 둘지 합의할 수 있습니다.