확률 문제를 풀 때 많은 중학교 2학년 학생이 가능한 경우를 먼저 세고 곧바로 확률을 계산합니다. 그러나 경우를 세는 것보다 앞서 확인해야 할 질문이 있습니다. 각각의 경우가 정말 같은 정도로 일어날 수 있는가입니다. 가능한 결과를 목록으로 만들었다고 해서 그 결과들이 자동으로 같은 가능성을 갖는 것은 아니기 때문입니다.
예를 들어 동전 한 개를 던질 때 앞면과 뒷면은 같은 모양의 동전이라면 각각 나올 가능성이 같다고 볼 수 있습니다. 주사위도 특별히 조작되지 않았고 각 면이 공정하게 나오는 상황이라면 1부터 6까지의 눈이 같은 가능성을 가집니다. 이때는 원하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 방법을 바로 사용할 수 있습니다.
‘가능한 결과’와 ‘같은 가능성’은 다르다
주사위를 한 번 던져 홀수가 나오는 확률을 구한다고 해 보겠습니다. 가능한 눈은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 홀수는 1, 3, 5 세 가지입니다. 각 눈이 같은 가능성으로 나온다는 조건이 있으므로 전체 6가지 중 원하는 3가지를 골라 3/6, 즉 1/2로 계산할 수 있습니다.
하지만 어떤 상황에서 결과가 ‘빨강, 파랑, 초록’ 세 가지라고 해서 각 색이 같은 확률로 나온다고 단정할 수는 없습니다. 빨간 공이 5개, 파란 공이 2개, 초록 공이 1개 들어 있는 주머니라면 색의 종류는 세 가지이지만 색이 나올 가능성은 서로 다릅니다. 이때 한 공을 꺼낼 때 빨간색이 나오는 경우는 공의 색만 기준으로 한 가지가 아니라 실제 빨간 공 5개에 해당합니다.
따라서 문제를 읽을 때는 ‘결과의 종류가 몇 개인가’만 세지 말고, 각 결과에 연결된 실제 대상이나 선택 방법이 몇 개인지 살펴야 합니다. 원주중2수학과외에서 확률을 지도할 때도 이 차이를 먼저 구분하도록 연습합니다.
같은 가능성을 판단하는 확인 순서
첫째, 실험에 사용되는 대상이 공정한지 확인합니다. 주사위가 정육면체이고 특별한 조건이 없다면 각 눈을 같은 가능성으로 볼 수 있습니다. 동전 역시 앞면과 뒷면이 균등하게 나오는 것으로 제시되었다면 두 결과를 같은 가능성으로 처리합니다.
둘째, 각 결과를 만들어 내는 실제 경우의 수가 같은지 살펴봅니다. 주머니에서 공을 꺼내는 문제라면 색의 이름이 아니라 공의 개수를 비교해야 합니다. 빨간 공 2개와 파란 공 2개가 있다면 빨강과 파랑은 같은 가능성이지만, 빨간 공 3개와 파란 공 1개라면 그렇지 않습니다.
셋째, 한 번의 선택인지 여러 번의 선택인지 구분합니다. 두 개의 동전을 동시에 던질 때 앞뒤, 뒤앞, 앞앞, 뒤뒤를 생각할 수 있습니다. 동전이 공정하다면 네 가지 결과는 같은 가능성을 갖습니다. 그러나 ‘앞면이 한 개 나오는 경우’를 셀 때는 앞뒤와 뒤앞을 모두 포함해야 합니다. 결과를 어떤 단위로 나누어 세는지가 중요합니다.
표와 수형도로 경우를 확인하기
같은 가능성인지 헷갈릴 때는 결과를 말로만 판단하지 말고 표나 수형도로 펼쳐 보는 것이 좋습니다. 예를 들어 티셔츠 2벌과 바지 3벌 중 하나씩 고른다면 옷차림은 6가지가 됩니다. 각 티셔츠와 바지의 조합을 하나의 결과로 보면, 모든 옷이 선택될 기회가 같다는 조건에서 6가지 조합은 같은 가능성으로 볼 수 있습니다.
반면 티셔츠 한 벌이 다른 옷보다 두 배 자주 선택되도록 정해져 있다면 단순히 조합이 6가지라는 이유만으로 각 옷차림의 확률을 똑같이 계산할 수 없습니다. 표를 만든 뒤 각 결과가 실제로 몇 번의 선택 경로를 통해 만들어지는지 확인해야 합니다.
수형도를 사용할 때는 가지마다 같은 확률이 주어졌는지도 살펴봅니다. 첫 번째 선택에서 빨간 공과 파란 공의 개수가 다르면 첫 단계의 가지 확률부터 달라집니다. 이 경우 가지의 개수를 세는 것만으로는 충분하지 않고, 각 경로가 차지하는 가능성을 따로 비교해야 합니다.
기본 문제와 변형 문제의 차이
기본 문제에서는 ‘공정한 주사위’, ‘각 면이 나올 가능성이 같다’와 같은 조건이 직접 제시됩니다. 학생은 전체 경우를 세고 원하는 경우를 골라 계산하면 됩니다. 그러나 응용 문제에서는 같은 가능성이라는 말이 생략되거나, 여러 물건의 개수가 다르게 제시되어 판단이 먼저 필요합니다.
예를 들어 숫자 카드가 1, 2, 3, 4로 한 장씩 있다면 각 숫자가 선택될 가능성은 같습니다. 하지만 1이 적힌 카드가 세 장이고 2, 3, 4가 적힌 카드가 각각 한 장이라면 숫자의 종류만 보고 네 가지가 같은 가능성이라고 하면 안 됩니다. 1이 뽑힐 수 있는 실제 카드가 더 많기 때문입니다.
이런 문제에서 막히는 원인은 계산 능력보다 결과를 세는 기준을 잘못 정하는 데 있습니다. ‘숫자가 네 종류이므로 전체 4가지’라고 생각했는지, 아니면 실제 카드를 모두 펼쳐 보았는지 풀이 과정을 점검해야 합니다.
확률을 계산하기 전 적어 보는 문장
문제를 풀기 전 다음 세 문장을 직접 적어 보면 판단이 안정됩니다.
- 실험에서 실제로 선택되는 대상은 무엇인가?
- 각 대상이 선택될 가능성은 같은가?
- 내가 세려는 결과 하나는 무엇을 의미하는가?
예를 들어 주머니에서 공 하나를 꺼내는 문제라면 ‘색의 종류’를 세는지 ‘공 하나하나’를 세는지 먼저 결정합니다. 각 공이 똑같이 선택될 수 있다면 공을 기본 단위로 세고, 원하는 색의 공 개수를 분자로 놓습니다. 색마다 공의 수가 다르다면 색의 종류만으로 분모를 정하지 않습니다.
정답을 구한 뒤에는 확률이 0과 1 사이에 있는지도 확인합니다. 원하는 경우의 수가 전체 경우의 수보다 많게 계산되었다면 경우를 세는 기준이 달라진 것입니다. 또한 두 결과가 같은 가능하다고 판단했다면 문제의 조건에서 그 근거가 무엇인지 한 문장으로 설명할 수 있어야 합니다.
오답을 다시 볼 때의 기준
확률 문제를 틀렸을 때 ‘경우의 수를 잘못 세었다’고만 적지 말고 오류의 위치를 나눠 보세요. 공의 개수를 색의 종류로 바꾸어 센 것인지, 두 번의 선택 순서를 빠뜨린 것인지, 같은 결과를 중복해서 센 것인지 확인합니다. 계산식은 맞더라도 처음부터 같은 가능성이 아닌 대상을 동일하게 취급했다면 답은 달라집니다.
해설을 볼 때도 정답 식을 바로 베끼기보다 해설에서 전체 경우를 어떤 단위로 설정했는지 표시하는 것이 좋습니다. 잠시 뒤 해설을 덮고 ‘왜 이 경우들이 같은 가능성인가’를 자신의 말로 설명한 다음 다시 식을 세워 봅니다. 원주중2수학과외 학습에서는 이러한 설명 과정을 통해 확률을 단순한 분수 계산이 아니라 조건을 해석하는 문제로 접근하게 합니다.
가능한 경우를 모두 찾았다는 사실과 그 경우들이 같은 정도로 일어난다는 사실은 서로 다릅니다. 공정성, 실제 대상의 개수, 선택 경로, 결과를 세는 단위를 차례로 확인한 뒤에야 원하는 경우와 전체 경우를 비교할 수 있습니다. 이 순서를 습관으로 만들면 낯선 확률 문제에서도 감으로 답을 고르지 않고 근거를 가지고 판단할 수 있습니다.