운서동 중등수학과외

외심을 배운 학생이 “삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점”이라는 정의는 기억하면서도, 외심이 꼭짓점에 놓일 수 있는지 묻는 질문에는 “이등변삼각형이면 가능하다”고 답하는 경우가 있습니다. 이때 필요한 것은 공식을 더 외우는 일이 아니라, 외심이 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어야 한다는 조건과 수직이등분선 하나가 제공하는 정보의 범위를 구분하는 것입니다. 인천공항중학교나 인천운서중학교 학생의 답안을 살필 때도 정답만 확인하기보다 어떤 조건을 사용했고 어떤 조건을 빠뜨렸는지 확인하면 학습 지원과 수업 운영을 구체적으로 결정할 수 있습니다.

외심의 정의와 꼭짓점 일치가 불가능한 조건

삼각형 ABC가 한 직선 위에 놓이지 않은 일반적인 삼각형이라고 하겠습니다. 외심 O는 세 꼭짓점까지의 거리가 같은 점이므로 OA=OB=OC를 만족합니다. 또한 외심은 각 변의 수직이등분선 위에 있습니다. 여기서 ‘A가 변 BC의 수직이등분선 위에 있다’는 말은 AB=AC라는 뜻일 뿐, A가 외심이라는 뜻은 아닙니다. 외심이 되려면 변 BC뿐 아니라 변 AB와 AC에 대해서도 같은 거리 조건을 만족해야 합니다.

만약 외심 O가 꼭짓점 A와 일치한다면 O=A이므로 OA=0입니다. 외심의 등거리 조건에 따라 OB도 0, OC도 0이어야 합니다. 그러면 A와 B가 같은 점이고 A와 C도 같은 점이 되어 삼각형이 만들어지지 않습니다. 실제 삼각형에서는 AB와 AC가 모두 0이 아니므로 OA=OB=OC를 만족하면서 O=A가 될 수 없습니다. 직각삼각형에서 외심이 빗변의 중점에 놓이는 것과 혼동해서도 안 됩니다. 외심이 변 위에 놓일 수는 있지만, 일반적인 삼각형의 꼭짓점과 일치하지는 않습니다.

대표 문제로 보는 오답의 원인과 확인 질문

문제: 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C가 삼각형을 이루고, AB=AC=5, BC=6이다. A가 BC의 수직이등분선 위에 있을 때 외심 O가 A와 일치할 수 있는지 설명하시오. 그림이 없다면 B와 C를 수평으로 놓고, A가 두 점에서 같은 거리에 있는 위쪽 점이라고 생각하면 됩니다.

학생이 이렇게 풀었다고 가정해 보겠습니다. “AB=AC이므로 A는 BC의 수직이등분선 위에 있다. 외심은 수직이등분선이 만나는 점이므로 A가 외심이다.” 이 답에서 AB=AC를 이용한 첫 문장은 맞지만, 수직이등분선 하나만 확인하고 외심이라고 결론 내린 것이 문제입니다. 교사는 “외심이 되려면 A에서 B와 C까지의 거리만 같으면 충분한가?”, “A가 외심이라면 OA, OB, OC를 각각 어떻게 쓸 수 있는가?”, “변 AB의 수직이등분선 위에도 A가 놓여야 하는가?”라고 물어 학생이 누락한 조건을 말하게 할 수 있습니다. 학생이 ‘수직이등분선 하나와 세 수직이등분선의 교점’을 구별하지 못한 것인지, 등거리 식을 세우지 못한 것인지 답변을 통해 나눠 볼 수 있습니다.

올바른 풀이와 원래 조건에 따른 검산

A가 외심이라고 가정하면 O=A입니다. 그러면 외심의 정의에 따라 OA=OB=OC여야 하는데, OA=AA=0입니다. 따라서 OB=0, OC=0이 되어 B=A, C=A가 되어야 합니다. 그러나 문제의 조건은 AB=5, AC=5, BC=6이므로 세 점은 서로 다른 위치에 있고 삼각형은 퇴화하지 않았습니다. 따라서 외심 O는 A와 일치할 수 없습니다. 핵심은 AB=AC에서 출발해 A가 BC의 수직이등분선 위에 있다는 사실을 얻는 것과, A가 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 외심인지 판단하는 것을 분리하는 데 있습니다.

수직이등분선 하나만 확인하는 것이 부족하다는 점은 좌표로도 검산할 수 있습니다. B=(-3,0), C=(3,0), A=(0,4)로 두면 AB=AC=5이고 BC=6이므로 조건에 맞습니다. 대칭성 때문에 외심은 y축 위의 점 O=(0,t)로 놓을 수 있습니다. OB²=9+t², OA²=(4-t)²이므로 (4-t)²=9+t², 즉 16-8t=9, t=7/8입니다. 따라서 O=(0,7/8)이고 A=(0,4)와 다릅니다. 원래 조건인 세 점의 거리와 외심의 등거리 조건으로 돌아가도 같은 결론이 나오므로, 단순히 그림에서 가까워 보인다는 이유로 판단하지 않습니다.

새 문제와 학생 반응에 따른 수업 조정

새 문제: 삼각형 PQR에서 PQ=PR이고 P, Q, R은 서로 다른 점이다. P가 QR의 수직이등분선 위에 있다는 사실만으로 P가 외심이라고 말할 수 있는지 판단하고, 그 근거를 한 문장으로 쓰시오. 정답은 ‘말할 수 없다’입니다. PQ=PR이므로 P가 QR의 수직이등분선 위에 있다는 판단은 가능하지만, 외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같아야 하므로 P가 외심인지 확인하려면 PP, PQ, PR을 비교해야 합니다. PP=0인데 PQ와 PR은 0이 아니므로 P는 외심이 될 수 없습니다.

학생이 새 문제에서 바로 ‘수직이등분선 하나로는 부족하다’고 설명하면 다음 단계에서는 외심이 변 위에 놓이는 경우와 꼭짓점에 놓이는 경우를 비교하게 합니다. 반대로 정답은 맞히지만 이유를 ‘그냥 외심은 가운데에 있기 때문’이라고 쓰면 위치에 대한 막연한 이미지를 지우고 OA=OB=OC를 직접 적게 합니다. AB=AC를 외심의 충분조건으로 쓰면 세 수직이등분선 중 어느 것을 확인했는지 밑줄 긋게 하고, 외심이라고 주장하는 점에서 세 꼭짓점까지의 선분을 표시하게 합니다. 힌트를 받은 뒤 같은 문제를 해결한 결과와, 도움 없이 새 문제에서 조건과 근거를 함께 쓴 결과는 따로 기록해야 합니다.

설명을 들은 친구의 요약에서 어긋난 단어 찾기

풀이 설명을 들은 친구의 요약을 다시 읽으면, 원래 조건이 어떤 단어에서 달라졌는지 확인할 수 있습니다. 교사가 “외심이 꼭짓점과 일치할 수 없는 이유는 외심이 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어야 하기 때문이다”라고 설명했는데, 친구가 “외심은 항상 삼각형의 안쪽에 있다”고 요약했다면 ‘항상’과 ‘안쪽’이 의도와 어긋난 단어입니다. 외심은 예각삼각형에서는 내부에 있지만 직각삼각형에서는 빗변의 중점에, 둔각삼각형에서는 삼각형 바깥에 놓입니다. 따라서 위치가 아니라 세 꼭짓점까지의 같은 거리라는 조건이 핵심입니다.

이 상황에서 학생은 친구의 요약을 바로 틀렸다고 말하기보다 “방금 설명에서 외심이 안쪽에 있어야 한다고 했나, 아니면 세 점까지 거리가 같다고 했나?”라고 되묻고, ‘항상’을 지운 문장과 ‘세 꼭짓점까지 같은 거리’를 넣은 문장을 비교해 볼 수 있습니다. 교사는 학생이 어긋난 단어를 실제로 표시했는지, 원래 설명의 핵심어를 다시 넣었는지, 친구가 수정한 요약을 듣고 수직이등분선과 등거리 조건을 구별하는지 확인합니다. 이 활동은 단순한 말하기 연습이 아니라 문제 풀이에서 조건을 빠뜨리는 원인을 관찰하는 자료가 됩니다.

수업에 적용할 합의와 이후 확인 방법

수업에서는 먼저 학생이 외심 문제를 풀 때 답안 첫 줄에 ‘외심이므로 OA=OB=OC’ 또는 상황에 맞는 등거리 조건을 쓰기로 합의할 수 있습니다. 이후 교사는 학생의 답안에서 수직이등분선 하나만 사용했는지, 세 점까지의 거리를 비교했는지, 삼각형이 퇴화하지 않는다는 조건을 놓치지 않았는지를 표시합니다. 설명을 요약하는 활동에서는 학생이 친구의 문장 중 의도와 어긋난 단어에 밑줄을 긋고, 그 단어를 삭제하거나 정확한 조건으로 바꾼 뒤 한 문장으로 다시 말하도록 합니다.

다음 수업에서 이미 푼 문제를 그대로 다시 제시하면 기억한 답을 쓰는 데 그칠 수 있으므로, 도형의 이름과 위치를 바꾼 새 문제를 함께 사용합니다. 예를 들어 이등변삼각형 PQR에서 P가 QR의 수직이등분선 위에 있다는 조건을 주고, ‘P가 외심인가’와 ‘그 이유는 무엇인가’를 나누어 묻습니다. 교사는 도움 없이 조건을 식으로 옮겼는지, 결론에 필요한 근거를 빠짐없이 썼는지, 친구의 수정된 요약에서 등거리 조건을 정확히 사용했는지를 확인합니다. 보호자는 결과만 묻기보다 학생이 답안에서 밑줄 친 조건과 친구의 문장을 어떻게 고쳤는지 보여 달라고 요청하면 다음 수업의 설명 수준을 판단하기 쉽습니다.

외심 문제에서는 특정 수직이등분선 위에 있다는 사실과 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 외심의 조건을 구분해야 하며, 꼭짓점에서는 자기 자신까지의 거리가 0이라는 점을 사용해 일치 가능성을 판단합니다. 과외에서는 친구의 요약에서 ‘항상’이나 ‘안쪽’처럼 의도를 바꾸는 단어를 찾아내고, 원래 설명의 조건을 넣어 다시 말하는 과정을 수업 자료로 삼을지 결정하면 됩니다.

최근 외심 문제의 답안 1장, 학생이 설명을 들은 뒤 작성한 요약문 1개, 수업에서 받은 도움의 내용이 필요합니다. 학생은 ‘수직이등분선 하나’와 ‘세 꼭짓점까지의 같은 거리’를 구분했는지, 교사는 어긋난 단어를 표시하게 한 뒤 어떤 문장으로 다시 설명하게 할지, 다음 확인에서 도움 없이 새 문제와 수정 요약을 각각 평가할지를 상담에서 합의하세요.