독립사건과 배반사건은 무엇이 다른가
확률 문제에서 학생들이 자주 혼동하는 표현이 독립사건과 배반사건입니다. 두 사건 모두 사건 사이의 관계를 설명하지만, 의미는 정반대에 가깝습니다. 독립사건은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 경우이고, 배반사건은 두 사건이 동시에 일어날 수 없는 경우입니다.
문제를 읽을 때 ‘서로 영향을 주지 않는다’는 뜻인지, ‘동시에 일어날 수 없다’는 뜻인지 먼저 구분해야 합니다. 이 차이를 놓치면 곱셈을 사용해야 할 문제에서 덧셈을 하거나, 반대로 합집합과 교집합을 잘못 판단하게 됩니다. 운북동고2수학과외에서 확률을 공부할 때도 공식부터 외우기보다 두 사건의 관계를 말로 설명하는 연습을 먼저 하는 것이 좋습니다.
배반사건은 교집합이 없는 관계다
사건 A와 B가 배반사건이라는 말은 A와 B가 동시에 일어날 수 없다는 뜻입니다. 따라서 두 사건의 교집합은 공집합이 됩니다.
A와 B가 배반사건이면 P(A∩B)=0
예를 들어 주사위 한 개를 던져 나온 눈이 2의 배수인 사건을 A, 5의 배수인 사건을 B라고 하겠습니다. 한 번의 시행에서 나온 눈이 2의 배수이면서 동시에 5의 배수일 수는 없습니다. 그러므로 A와 B는 배반사건입니다.
배반사건의 합집합 확률은 교집합이 0이므로 다음처럼 계산합니다.
P(A∪B)=P(A)+P(B)
다만 ‘서로 다른 사건’이라고 해서 모두 배반사건은 아닙니다. 주사위에서 홀수가 나오는 사건과 3보다 큰 수가 나오는 사건을 생각해 보면, 5가 나오는 경우처럼 두 사건이 함께 일어날 수 있습니다. 따라서 두 사건이 동시에 가능한 결과를 하나라도 갖는지 확인해야 합니다.
독립사건은 서로의 확률에 영향을 주지 않는다
독립사건은 한 사건이 일어났다는 사실을 알아도 다른 사건의 확률이 변하지 않는 관계입니다. 사건 A와 B가 독립이면 B가 일어났다는 조건 아래에서 A가 일어날 확률은 원래 A의 확률과 같습니다.
P(A|B)=P(A)
이를 곱셈 관계로 나타내면 다음과 같습니다.
P(A∩B)=P(A)P(B)
예를 들어 동전을 한 번 던지는 실험과 주사위를 한 번 던지는 실험을 함께 한다고 하겠습니다. 동전에서 앞면이 나오는 사건과 주사위에서 6이 나오는 사건은 서로 영향을 주지 않습니다. 동전의 결과를 이미 알아도 주사위가 6일 확률은 달라지지 않으므로 두 사건은 독립입니다.
독립 여부를 판단할 때는 단순히 사건이 서로 다른 실험에 속하는지만 보지 말고, 한 사건이 주어진 뒤 다른 사건의 확률이 변하는지 확인해야 합니다. 특히 공을 꺼낸 뒤 다시 넣는지 여부에 따라 독립성이 달라질 수 있습니다. 복원추출에서는 다음 시행의 조건이 그대로 유지되지만, 공을 다시 넣지 않는 비복원추출에서는 앞선 결과가 다음 확률에 영향을 줄 수 있습니다.
두 개념을 표로 비교해 보기
- 배반사건: 두 사건이 동시에 일어날 수 없음
- 배반사건의 조건: P(A∩B)=0
- 배반사건의 합집합: P(A∪B)=P(A)+P(B)
- 독립사건: 한 사건이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 주지 않음
- 독립사건의 조건: P(A∩B)=P(A)P(B)
- 독립사건의 조건부확률: P(A|B)=P(A), 단 P(B)≠0
가장 중요한 점은 배반은 ‘동시에 일어날 수 있는가’를 묻고, 독립은 ‘서로 영향을 주는가’를 묻는다는 것입니다. 질문 자체가 다르기 때문에 두 단어를 비슷한 의미로 받아들이면 안 됩니다.
배반사건과 독립사건을 동시에 만족할 수 있을까
확률이 0이 아닌 두 사건 A와 B가 배반이면서 독립일 수는 없습니다. 배반이라면 P(A∩B)=0입니다. 하지만 독립이라면 P(A∩B)=P(A)P(B)이어야 합니다. P(A)와 P(B)가 모두 0보다 크다면 그 곱도 0보다 클 수밖에 없으므로 두 조건이 충돌합니다.
예를 들어 주사위에서 1이 나오는 사건과 2가 나오는 사건은 배반입니다. 한 번에 1과 2가 동시에 나올 수 없기 때문입니다. 그러나 1이 나왔다는 사실은 2가 나올 가능성을 0으로 만듭니다. 원래 2가 나올 확률은 1/6이었지만, 1이 나왔다는 조건이 붙으면 확률은 0이 됩니다. 따라서 서로 영향을 주지 않는 독립사건은 아닙니다.
배반사건은 함께 일어날 수 없고, 독립사건은 함께 일어날 수 있어도 서로의 확률을 바꾸지 않는다.
문제를 풀 때의 판단 순서
확률 문제에서 ‘독립’ 또는 ‘배반’이라는 말이 직접 제시되지 않았다면 다음과 같이 확인해 보세요. 먼저 두 사건이 동시에 발생할 수 있는 결과를 찾습니다. 가능한 결과가 없다면 배반사건일 가능성이 큽니다. 반대로 함께 발생하는 결과가 있다면 배반사건은 아닙니다.
그다음 한 사건이 발생했다는 조건을 붙여 다른 사건의 확률이 달라지는지 살펴봅니다. 확률이 그대로라면 독립일 수 있고, 확률이 달라진다면 독립이 아닙니다. 주어진 확률로 확인할 때는 교집합 확률과 두 확률의 곱을 비교하면 됩니다.
예를 들어 P(A)=1/3, P(B)=1/2, P(A∩B)=1/6이라면 P(A)P(B)=1/6이므로 독립입니다. 반면 P(A∩B)=0이라면 배반인지 먼저 확인할 수 있습니다. 단, P(A) 또는 P(B)가 0인 특수한 경우에는 두 조건이 함께 성립할 수 있으므로 일반적인 양의 확률 사건과 구분해야 합니다.
헷갈림을 줄이는 연습법
문제를 읽은 뒤 바로 공식에 숫자를 넣지 말고, 두 사건의 관계를 한 문장으로 적어 보세요. “A가 일어나면 B는 일어날 수 없다”라면 배반사건에 해당하고, “A가 일어나도 B의 확률은 변하지 않는다”라면 독립사건에 해당합니다.
또한 ‘또는’과 ‘그리고’를 구분하는 것도 중요합니다. ‘A 또는 B’는 합집합 A∪B이고, ‘A와 B가 모두’는 교집합 A∩B입니다. 배반사건에서는 ‘또는’의 확률을 더할 수 있지만, 일반적인 사건에서는 교집합을 한 번 빼야 합니다. 독립사건에서는 ‘그리고’에 해당하는 교집합을 두 확률의 곱으로 계산합니다.
운북동고2수학과외에서 이 내용을 복습할 때는 정답만 확인하지 말고, 왜 덧셈을 했는지 또는 왜 곱셈을 했는지를 말로 설명해 보세요. 특히 ‘동시에 불가능하다’와 ‘서로 영향이 없다’를 각각 다른 색으로 표시하면 두 개념의 차이가 더 분명해집니다.
마지막으로 문제에서 독립이라는 단어가 보이지 않는다고 해서 무조건 독립으로 가정해서는 안 됩니다. 시행 과정, 추출 방법, 조건의 변화, 교집합의 가능성을 확인한 뒤 판단해야 합니다. 운북동고2수학과외에서 확률 문제를 다룰 때도 공식 암기보다 사건 사이의 관계를 정확히 읽는 습관이 계산 실수를 줄이는 출발점이 됩니다.