중복해서 세는 실수를 줄이려면 먼저 기준을 정해야 합니다
경우의 수 문제에서 답이 맞지 않는 이유는 계산 능력보다 같은 경우를 여러 번 세거나, 반대로 일부 경우를 빠뜨리는 데 있는 경우가 많습니다. 특히 중2에서는 조건이 두세 가지로 늘어나면서 가능한 상황을 머릿속으로만 세다가 순서가 뒤섞이기 쉽습니다. 운남동중2수학과외에서는 이런 문제를 만났을 때 바로 곱셈이나 덧셈을 적용하기보다, 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 먼저 정하도록 지도합니다.
같은 경우인지 판단하는 질문
예를 들어 세 명의 학생 중 두 명을 뽑는 문제에서 민수와 지우를 뽑은 경우와 지우와 민수를 뽑은 경우는 순서를 중요하게 보지 않는다면 같은 경우입니다. 반면 회장과 부회장을 정하는 상황에서는 민수가 회장이고 지우가 부회장인 경우와 지우가 회장이고 민수가 부회장인 경우가 서로 다릅니다.
따라서 문제를 읽을 때 “자리나 역할이 바뀌면 다른 경우인가?”를 먼저 확인해야 합니다. 단순히 숫자를 계산하기 전에 뽑는 대상의 순서가 의미 있는지, 결과의 모양이 같은지를 판단하면 중복 계산을 크게 줄일 수 있습니다.
한 번 센 경우를 표시하는 방법
머릿속으로만 가능한 경우를 기억하려 하지 말고 간단한 표나 목록을 만드세요. 두 개의 주사위를 던져 합이 5가 되는 경우를 세는 상황이라면 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)처럼 순서가 있는 결과를 적을 수 있습니다. 이때 (1,4)와 (4,1)을 같은 것으로 볼 것인지는 문제의 조건에 따라 달라집니다. 표를 작성하면 어떤 결과를 이미 세었는지 눈으로 확인할 수 있어 같은 경우를 다시 포함시키는 실수를 예방할 수 있습니다.
목록을 만들 때는 일정한 순서를 정하는 것이 중요합니다. 첫 번째 수를 1로 고정한 뒤 가능한 두 번째 수를 적고, 다음에는 첫 번째 수를 2로 바꾸는 방식입니다. 무작위로 떠오르는 경우를 적으면 빠진 경우와 반복된 경우를 동시에 발견하기 어렵습니다.
경우를 나누는 기준은 서로 겹치지 않아야 합니다
중복을 막는 가장 확실한 방법은 전체 경우를 겹치지 않는 묶음으로 나누는 것입니다. 예를 들어 어떤 숫자를 만드는 방법을 셀 때 일의 자리 숫자를 기준으로 나눈다면 일의 자리가 1인 경우, 2인 경우처럼 분류할 수 있습니다. 한 경우가 두 묶음에 동시에 들어가지 않고, 모든 경우가 반드시 어느 한 묶음에 포함되도록 해야 합니다.
반대로 “홀수인 경우”와 “3의 배수인 경우”처럼 기준이 겹치는 분류를 아무 생각 없이 더하면 문제가 생깁니다. 3의 배수이면서 홀수인 경우가 두 번 포함될 수 있기 때문입니다. 덧셈의 원리를 사용할 때는 각 범주가 서로 겹치지 않는지 먼저 확인하고, 겹친다면 분류 기준을 다시 세워야 합니다.
수형도는 선택의 순서를 보여 줍니다
옷의 종류와 신발의 종류를 조합하거나, 동전을 여러 번 던지는 경우처럼 선택이 단계적으로 이루어지는 문제에서는 수형도가 유용합니다. 첫 번째 선택에서 가지를 나누고, 각 가지에서 두 번째 선택을 이어 그리면 어느 과정에서 경우가 생기는지 분명해집니다. 각 마지막 가지가 하나의 완성된 경우이므로 끝부분을 세면 됩니다.
다만 수형도를 그릴 때 같은 선택을 이름만 바꾸어 반복하지 않도록 주의해야 합니다. “빨간 상의와 파란 바지”라는 조합을 한 가지에서 이미 세었다면 다른 가지에서 다시 적지 않습니다. 선택의 순서가 실제 결과에 영향을 주지 않는 문제라면, 처음부터 상의부터 고르는 식으로 기준을 고정하는 편이 안전합니다.
곱셈과 덧셈을 구분하는 연습
첫 번째 선택 뒤에 두 번째 선택이 이어지는 구조라면 곱셈의 원리를 생각할 수 있습니다. 반대로 서로 겹치지 않는 여러 유형 중 하나를 선택하는 구조라면 각 유형의 경우를 센 뒤 더합니다. 하지만 공식만 외우면 문제의 구조가 바뀌었을 때 판단하기 어렵습니다.
문제를 읽은 뒤 “이 선택을 한 다음에도 다음 선택을 해야 하는가?”를 물어보세요. 이어지는 선택이면 곱셈에 가깝고, “A인 경우 또는 B인 경우”처럼 유형을 나누는 상황이면 덧셈에 가깝습니다. 두 원리가 함께 사용되는 문제에서는 먼저 큰 경우를 나눈 뒤, 각 경우 안에서 이어지는 선택을 계산합니다.
오답을 고칠 때는 숫자보다 중복 지점을 찾습니다
경우의 수 문제를 틀렸다면 정답만 확인하고 다시 계산하지 마세요. 자신의 풀이 옆에 다음 세 가지를 적어 보는 것이 좋습니다. 어떤 기준으로 경우를 나누었는지, 각 경우가 서로 겹치지 않는지, 모든 가능한 경우가 포함되었는지입니다. 답이 지나치게 크게 나왔다면 중복을 의심하고, 지나치게 작다면 빠진 가지가 없는지 확인합니다.
해설을 볼 때도 전체 풀이를 그대로 옮기기보다 내가 적은 목록과 해설의 목록을 한 줄씩 비교하세요. 같은 경우가 다른 이름으로 두 번 등장했는지, 내가 처음부터 제외한 경우가 있었는지를 표시하면 오류의 원인이 구체적으로 드러납니다. 다음 날에는 해설을 덮고 같은 문제를 다시 분류해 보며, 이번에는 기준을 먼저 문장으로 적은 뒤 경우를 세도록 합니다.
오늘 해 볼 점검 방법
새 문제를 풀 때는 계산 전에 “무엇을 한 번으로 볼 것인가”를 한 문장으로 써 보세요. 그다음 가능한 경우를 표, 목록, 수형도 중 하나로 나타내고, 각 경우에 번호를 붙입니다. 마지막에는 번호가 겹치지 않는지와 빠진 번호가 없는지를 확인합니다. 이 과정을 반복하면 감으로 경우를 세는 습관에서 벗어나 문제의 구조를 기준으로 판단할 수 있습니다.
중복해서 세는 실수는 한 번의 설명만으로 완전히 사라지기보다, 같은 기준으로 여러 문제를 점검하면서 줄어듭니다. 운남동 중2수학과외에서도 정답을 빨리 구하는 것보다 경우를 나누는 기준과 기록 과정을 함께 확인해, 처음 보는 문제에서도 빠짐과 중복을 스스로 통제하도록 돕습니다.