중학교 2학년 수학에서 경우의 수 문제를 풀 때 머릿속으로만 상황을 따지면 빠뜨리거나 같은 경우를 두 번 세기 쉽습니다. 특히 선택할 대상이 두 종류 이상이고, 한 조건에 따라 다음 선택이 달라지는 문제라면 가능한 결과를 표로 정리하는 방법이 효과적입니다. 우두동중2수학과외에서는 단순히 표를 그리는 데 그치지 않고, 어떤 문제에서 표가 필요한지 판단하는 연습을 함께 진행합니다.
표가 필요한 문제의 특징
모든 경우의 수 문제를 표로 만들 필요는 없습니다. 가능한 경우가 많지 않고 두 가지 기준을 동시에 비교해야 할 때 표가 유용합니다. 예를 들어 상의 3벌과 하의 2벌 중 하나씩 고르는 문제에서는 상의의 종류를 행에, 하의의 종류를 열에 놓으면 전체 조합을 한눈에 확인할 수 있습니다.
상의＼하의
청바지
검은 바지
흰색 티셔츠
흰색 티셔츠-청바지
흰색 티셔츠-검은 바지
파란 셔츠
파란 셔츠-청바지
파란 셔츠-검은 바지
회색 후드티
회색 후드티-청바지
회색 후드티-검은 바지
이 표에서는 각 칸이 하나의 선택 결과입니다. 행 3개와 열 2개가 만나는 칸이 모두 채워지므로 전체 경우의 수가 6가지임을 확인할 수 있습니다. 계산식 3×2를 바로 적용할 수도 있지만, 표를 먼저 작성하면 무엇을 세고 있는지 분명해집니다.
단순 곱셈보다 표가 안전한 상황
두 선택이 항상 독립적으로 이루어지지 않는다면 표가 더욱 필요합니다. 예를 들어 음료 3종과 빵 3종을 고르되 특정 음료와 특정 빵은 함께 선택할 수 없다고 해 보겠습니다. 이때 무조건 3×3으로 계산하면 선택할 수 없는 조합까지 포함하게 됩니다.
먼저 음료를 행에, 빵을 열에 표시한 뒤 불가능한 조합에는 엑스 표시를 합니다. 남은 칸만 세면 조건을 지킨 경우의 수를 구할 수 있습니다. 이 방식은 계산 전에 제한 조건을 반영할 수 있다는 장점이 있습니다. 기본 문제에서는 가능한 선택이 모두 허용되지만, 응용 문제에서는 금지 조건이나 중복 조건이 추가되므로 표가 실수를 줄여 줍니다.
표를 만들 때 정해야 할 것
표를 그리기 전에 무엇을 행으로 놓고 무엇을 열로 놓을지 정해야 합니다. 보통 선택 기준이 두 가지라면 한 기준은 세로 방향, 다른 기준은 가로 방향에 배치합니다. 순서는 어느 쪽이든 상관없지만, 종류가 적고 조건을 확인하기 쉬운 항목을 열에 두면 표가 간결해질 수 있습니다.
- 첫 번째 선택 기준을 행에 적습니다.
- 두 번째 선택 기준을 열에 적습니다.
- 각 칸에 두 선택을 결합한 결과를 기록합니다.
- 조건에 맞지 않는 칸은 표시하고 제외합니다.
- 남은 칸을 한 번씩만 세었는지 확인합니다.
학생이 표를 만들면서 행과 열의 기준을 섞는 경우도 있습니다. 예를 들어 행에는 색깔을 적고 열에는 물건 종류를 적기로 했다면 끝까지 같은 기준을 유지해야 합니다. 중간에 행의 의미를 바꾸면 같은 경우가 빠지거나 서로 다른 결과를 같은 것으로 세게 됩니다.
표와 목록 중 무엇을 선택할까
가능한 결과가 한 단계씩 이어지고 선택 기준이 두 개라면 표가 적합합니다. 반면 선택이 세 단계 이상으로 이어지거나 앞선 선택에 따라 다음 선택지가 달라진다면 수형도가 더 편할 수 있습니다. 예를 들어 메뉴를 고른 뒤 음료를 고르고, 그 결과에 따라 디저트 선택 가능 여부가 달라진다면 가지를 뻗어 표현하는 편이 자연스럽습니다.
표를 사용하기 좋은 문제는 대체로 ‘두 종류의 대상을 하나씩 고르는 상황’입니다. 좌석의 행과 열, 숫자의 십의 자리와 일의 자리, 두 종류의 카드 선택처럼 두 기준을 교차해서 확인할 수 있다면 표를 먼저 떠올려 볼 수 있습니다. 반대로 순서가 중요한 배열 문제는 표의 칸만 세는 방식으로는 부족할 수 있으므로 각 단계의 선택 과정을 따로 살펴야 합니다.
빠짐과 중복을 확인하는 방법
경우의 수에서 답이 틀리는 가장 흔한 이유는 계산 자체보다 빠진 경우와 중복된 경우입니다. 표를 완성한 뒤에는 행별로 몇 칸이 남았는지 세어 보세요. 모든 행의 칸 수가 같다면 전체 구조를 확인하기 쉽고, 특정 행만 적다면 그 행에 별도의 제한 조건이 있는지 다시 살펴볼 수 있습니다.
또한 한 칸에 적힌 결과가 다른 칸의 결과와 같은지 확인해야 합니다. 순서를 구별하는 문제라면 ‘빨강-파랑’과 ‘파랑-빨강’이 서로 다른 경우인지 문제의 조건을 읽어 판단해야 합니다. 표를 그렸다는 이유만으로 자동으로 정답이 되는 것은 아니며, 칸 하나가 어떤 결과를 의미하는지 설명할 수 있어야 합니다.
오늘 해 볼 연습
문제집에서 경우의 수 문제 세 개를 골라 표가 필요한 문제와 그렇지 않은 문제를 먼저 분류해 보세요. 표가 필요하다고 판단한 문제는 답을 계산하기 전에 행과 열의 기준을 적고, 가능한 결과를 실제 칸에 써 봅니다. 그다음 표로 센 답과 계산식으로 구한 답이 같은지 비교합니다.
틀린 문제는 단순히 ‘경우의 수를 잘못 계산했다’고 적기보다, 경우를 빠뜨렸는지, 중복해서 세었는지, 조건을 표시하지 않았는지 구분해 기록하는 것이 좋습니다. 며칠 뒤 풀이를 가린 상태에서 표의 기준부터 다시 정해 보면 표를 그리는 목적까지 이해했는지 확인할 수 있습니다. 우두동 중2수학과외에서는 이런 과정을 통해 문제를 보자마자 무작정 곱하지 않고, 상황에 맞는 정리 방법을 선택하도록 지도합니다.
가능한 결과가 눈에 보이지 않아 헷갈리는 문제일수록 표는 계산을 대신하는 도구가 아니라 사고의 범위를 정리하는 도구가 됩니다. 행과 열의 기준을 정확히 정하고 각 칸의 의미를 확인하면, 빠짐과 중복을 줄이면서 문제의 조건에 맞는 경우만 세는 습관을 만들 수 있습니다.