경우의 수 문제를 풀 때 답이 자꾸 달라지는 학생은 계산 능력보다 세는 기준을 먼저 점검할 필요가 있습니다. 조건이 여러 개 붙은 문제에서 눈에 보이는 대로 하나씩 세면 같은 경우를 두 번 세거나, 반대로 일부 경우를 빠뜨리기 쉽습니다. 특히 중2에서는 단순히 곱셈을 적용하는 문제에서 벗어나, 어떤 기준으로 상황을 나누어야 하는지 판단하는 과정이 중요해집니다.
용화동중2수학과외에서는 경우의 수를 시작할 때 바로 식을 세우기보다 “이 상황을 겹치지 않게 나눌 수 있는 기준은 무엇인가?”를 먼저 확인하도록 지도합니다. 기준이 분명하면 표, 목록, 수형도, 곱셈을 활용할지 결정하기도 쉬워집니다.
왜 같은 문제를 세 번 풀어도 답이 달라질까
예를 들어 두 자리 자연수 중에서 특정 숫자를 포함하는 수를 세는 문제를 생각해 봅시다. 십의 자리에 그 숫자가 있는 경우와 일의 자리에 그 숫자가 있는 경우로 나누면 자연스럽지만, 두 자리 모두 같은 숫자인 경우가 양쪽에 함께 포함될 수 있습니다. 이처럼 나눈 기준이 서로 겹치면 각각의 개수를 더한 결과가 실제보다 커집니다.
반대로 “십의 자리에 특정 숫자가 있는 경우”만 세고 “일의 자리에만 있는 경우”를 빠뜨리면 답이 작아집니다. 학생이 틀린 이유를 단순히 계산 실수라고 적으면 같은 오류가 반복됩니다. 실제 원인은 기준이 모든 경우를 포함하는지, 각 경우가 서로 겹치지 않는지 확인하지 않은 데 있을 수 있습니다.
좋은 기준은 두 가지 조건을 만족한다
경우를 나누는 기준은 첫째, 전체 상황을 빠짐없이 포함해야 합니다. 둘째, 하나의 경우가 두 분류에 동시에 들어가서는 안 됩니다. 이를 확인하기 위해 문제를 푼 뒤 다음 질문을 해볼 수 있습니다.
- 전체 경우 중 어느 것도 분류에서 빠지지 않았는가?
- 하나의 경우를 두 번 세고 있지는 않은가?
- 각 분류의 조건을 한 문장으로 설명할 수 있는가?
- 분류한 뒤 각 부분을 같은 방법으로 셀 수 있는가?
예를 들어 학생들이 줄을 서는 상황이라면 사람의 이름을 기준으로 무작정 나누기보다, 특정 학생이 맨 앞에 있는 경우와 그렇지 않은 경우처럼 결과가 겹치지 않는 기준을 정할 수 있습니다. 물건을 고르는 문제라면 특정 물건을 선택하는 경우와 선택하지 않는 경우처럼 두 상황이 서로 겹치지 않도록 나누는 방식이 편리합니다.
나눈 뒤에는 각각의 상황을 따로 계산한다
기준을 세웠다면 전체를 한 번에 해결하려 하지 말고 각 경우를 독립적으로 계산합니다. 예를 들어 메뉴를 고르는 문제에서 음료를 선택하는 경우와 선택하지 않는 경우로 나누었다면, 음료를 선택한 상황에서는 음료의 선택 수를 먼저 정하고 나머지 선택 수를 곱합니다. 선택하지 않는 상황도 같은 방식으로 계산한 뒤 두 결과를 더합니다.
여기서 곱셈과 덧셈을 구별해야 합니다. 한 경우 안에서 선택이 차례로 이어지면 곱하고, 서로 겹치지 않는 여러 상황으로 나누었다면 마지막에 더합니다. 학생들은 이 두 연산을 공식처럼 외우다가 문제의 구조를 놓치기도 합니다. 따라서 풀이 옆에 “이 단계는 동시에 일어나는 선택이라 곱함”, “이 단계는 서로 다른 경우라 더함”처럼 짧은 이유를 적어 보는 것이 좋습니다.
표와 목록은 기준을 확인하는 도구다
간단한 문제라고 표나 목록 작성을 생략하면 오히려 누락과 중복을 확인하기 어려울 수 있습니다. 가능한 결과가 많지 않다면 첫 번째 조건을 세로, 두 번째 조건을 가로에 놓고 표를 만들어 봅니다. 표의 각 칸은 한 가지 결과를 의미하므로 같은 결과가 두 번 들어갔는지 쉽게 확인할 수 있습니다.
순서가 중요한 상황에서는 수형도가 유용합니다. 먼저 첫 번째 선택을 가지로 나눈 다음, 각 가지에서 가능한 두 번째 선택을 이어 적습니다. 단, 이미 선택한 대상을 다시 선택할 수 없는 문제라면 다음 단계의 선택 수가 줄어드는지 표시해야 합니다. 처음부터 식으로 계산하기보다 몇 개의 가지를 직접 그려 보면 곱셈식이 왜 그렇게 만들어지는지도 이해할 수 있습니다.
기본 문제와 변형 문제의 차이
기본 문제에서는 “세 가지 중 하나를 고르고, 네 가지 중 하나를 고른다”처럼 계산 구조가 직접 드러납니다. 그러나 응용 문제에서는 조건이 문장 속에 숨어 있어 먼저 기준을 만들어야 합니다. 특정 대상을 반드시 포함해야 하거나, 같은 대상을 반복할 수 없거나, 두 대상이 이웃하지 않아야 하는 경우에는 단순히 선택 수를 곱할 수 없습니다.
이때 학생이 해야 할 일은 문제의 조건을 전부 표시하는 것입니다. 반드시 포함되는 대상, 선택할 수 없는 대상, 순서가 구별되는지 여부를 각각 밑줄이나 기호로 나타냅니다. 그 다음 조건이 가장 강하게 작용하는 부분부터 기준으로 삼습니다. 예를 들어 한 사람이 반드시 포함된다면 그 사람이 있는 경우를 먼저 고정하고 나머지를 세는 방식이 더 간단할 수 있습니다.
오답을 다시 볼 때 확인할 순서
경우의 수에서 틀린 문제는 정답 풀이를 바로 옮겨 적기보다 자신의 분류표를 먼저 점검해야 합니다. 전체를 제대로 나누었는지, 두 분류가 겹치는지, 각 분류 안에서 선택 수를 잘못 계산했는지를 따로 표시합니다. 답은 맞았지만 풀이 근거가 불분명한 경우에는 작은 수로 직접 목록을 만들어 결과를 대조해 보는 것도 좋습니다.
오늘 연습할 때는 문제 세 개를 골라 각각 “나눈 기준”, “겹침 여부”, “빠진 경우 여부”를 한 줄씩 적어 보세요. 같은 답을 얻는 것보다 왜 그 기준으로 나누었는지 설명하는 것이 목표입니다. 이런 습관이 생기면 처음 보는 문제에서도 숫자부터 곱하지 않고 구조를 먼저 파악하게 됩니다.
용화동 중2수학과외에서는 학생이 경우의 수를 많이 계산하는 데서 그치지 않고, 자신의 분류가 전체를 정확히 설명하는지 말로 확인하도록 연습합니다. 기준을 세우고, 겹치지 않게 나누고, 각 부분을 계산한 뒤 더하는 흐름이 익숙해지면 복잡한 문제에서도 풀이의 출발점을 스스로 찾을 수 있습니다.