확률 문제를 읽고 바로 원하는 사건을 세려고 하면 경우가 너무 많아지는 일이 있습니다. 반대로 원하는 사건이 일어나지 않는 상황을 먼저 세면 훨씬 짧게 끝나는 문제도 있습니다. 이때 사용하는 방법이 여사건입니다. 용화동고2수학과외에서 확률 문제를 다룰 때도 공식 자체를 외우기보다 어떤 사건을 직접 세는 것이 편한지, 반대 사건을 세는 것이 편한지를 판단하는 연습이 중요합니다.
여사건은 무엇을 뜻할까
표본공간을 전체 가능한 결과라고 할 때, 사건 A가 일어나는 결과를 제외한 나머지 결과를 A의 여사건이라고 합니다. 사건 A의 여사건은 보통 Aᶜ 또는 A의 반대 사건으로 나타냅니다. 두 사건을 합치면 전체가 되므로 다음 관계가 성립합니다.
P(Aᶜ) = 1 - P(A)
따라서 A가 일어날 확률을 직접 구하기 어렵다면 A가 일어나지 않을 확률을 먼저 구한 뒤 전체 확률 1에서 빼면 됩니다. 여기서 중요한 점은 ‘반대되는 느낌의 사건’을 고르는 것이 아니라, 사건 A가 일어나지 않는 모든 경우를 빠짐없이 포함해야 한다는 것입니다.
직접 세는 것보다 반대 사건이 짧은 상황
여사건은 특히 ‘적어도 하나’, ‘한 번 이상’, ‘최소 한 개’처럼 어떤 일이 한 번이라도 발생하는지를 묻는 문제에서 자주 유용합니다. 예를 들어 여러 번 시행한 결과 중 성공이 적어도 한 번 나오는 확률을 구한다고 생각해 보겠습니다. 성공이 한 번, 두 번, 세 번 나오는 경우를 모두 나누어 계산하면 각각의 경우를 따로 정리해야 합니다. 하지만 여사건은 성공이 한 번도 나오지 않는 경우 하나뿐입니다.
이때 먼저 ‘성공이 한 번도 나오지 않을 확률’을 구하고 1에서 빼면 됩니다. 직접 구해야 하는 경우가 여러 갈래로 나뉘는 반면, 반대 사건은 같은 결과가 반복되는 한 가지 형태로 정리되기 때문입니다. 용화동고2수학과외에서는 이런 문제를 만났을 때 계산부터 시작하지 않고, 문제의 표현을 ‘적어도 한 번’과 ‘한 번도 일어나지 않음’으로 바꾸어 적어보게 합니다.
‘불량품이 하나 이상 포함될 확률’, ‘정답을 맞힌 사람이 적어도 한 명일 확률’, ‘특정 결과가 한 번 이상 나타날 확률’도 같은 방식으로 판단할 수 있습니다. 반대 사건은 각각 ‘불량품이 하나도 없음’, ‘모두 정답을 맞히지 못함’, ‘특정 결과가 한 번도 나타나지 않음’이 됩니다. 단, 조건이 독립인지 여부에 따라 반대 사건의 확률을 계산하는 과정은 달라질 수 있으므로 공식을 무조건 곱해서는 안 됩니다.
문장 속 표현을 사건으로 바꾸기
여사건을 잘 활용하려면 문제의 문장을 먼저 사건으로 번역해야 합니다. 예를 들어 ‘적어도 하나’는 1개 이상, ‘한 번 이상’은 1회 이상, ‘최소 두 개’는 2개 이상이라는 뜻입니다. 이때 반대 사건은 각각 ‘0개’, ‘0회’, ‘0개 또는 1개’가 됩니다. 특히 ‘최소 두 개’의 여사건은 ‘두 개 미만’이므로 0개와 1개를 모두 포함해야 합니다.
학생들이 자주 하는 실수는 ‘적어도 하나’의 반대 사건을 ‘하나만 없음’처럼 해석하는 것입니다. 그러나 여사건은 사건의 조건을 만족하지 않는 모든 경우입니다. ‘합격자가 적어도 한 명’의 반대는 ‘합격자가 정확히 한 명’이 아니라 ‘합격자가 한 명도 없음’입니다. ‘두 번 이상 성공’의 반대도 ‘한 번 성공’만이 아니라 ‘성공하지 못하거나 한 번 성공하는 경우’ 전체입니다.
풀이를 시작하기 전 확인할 것
문제를 읽은 뒤 다음과 같은 질문을 순서 없이 자연스럽게 점검하면 좋습니다.
- 구하려는 사건을 직접 세면 경우가 몇 가지로 나뉘는가?
- 그 사건이 일어나지 않는 경우는 더 단순하게 표현되는가?
- 반대 사건이 모든 실패 상황을 빠짐없이 포함하는가?
- 여사건의 확률을 계산할 때 시행 사이의 관계를 확인했는가?
- 마지막에 1에서 빼야 하는 확률이 정말 반대 사건의 확률인가?
이 질문은 별도의 암기 절차라기보다 풀이 방향을 결정하는 기준입니다. 직접 구하는 방법과 여사건을 이용하는 방법을 짧게 비교한 뒤, 경우가 적고 조건이 분명한 쪽을 선택하면 됩니다. 어떤 문제든 여사건을 쓰는 것이 항상 좋은 것은 아닙니다. ‘정확히 두 번’처럼 반대 사건이 여러 경우로 나뉘는 문제라면 직접 계산하는 편이 더 간단할 수 있습니다.
간단한 예로 확인하는 방법
주머니에 흰 공과 검은 공이 들어 있고 여러 개를 꺼낼 때 ‘흰 공이 적어도 하나 나올 확률’을 묻는 상황을 생각해 보겠습니다. 흰 공이 한 개, 두 개, 세 개 나오는 경우를 각각 계산하는 대신 여사건인 ‘흰 공이 하나도 나오지 않는 경우’를 먼저 계산할 수 있습니다. 즉, 꺼낸 공이 모두 검은 공인 경우의 확률을 구한 다음 그 값을 1에서 빼는 방식입니다.
이때 복원추출인지 비복원추출인지에 따라 계산식이 달라집니다. 공을 꺼낸 뒤 다시 넣는다면 각 시행의 확률이 유지되지만, 다시 넣지 않는다면 다음 시행에서 전체 공의 수와 색깔별 공의 수가 변합니다. 여사건을 선택했다고 해서 계산 조건까지 단순해지는 것은 아니므로, 문제에 제시된 추출 방법을 먼저 확인해야 합니다.
답을 구한 뒤 검산하는 습관
여사건을 사용한 답은 0과 1 사이에 있어야 합니다. 반대 사건의 확률이 작다면 원래 사건의 확률은 1에 가까워야 하고, 반대 사건의 확률이 크다면 원래 사건의 확률은 작아야 합니다. 예를 들어 ‘한 번 이상 발생’할 확률을 구했는데 결과가 지나치게 작게 나왔다면, ‘한 번도 발생하지 않음’을 잘못 설정했거나 마지막에 1에서 빼는 과정을 빠뜨렸을 가능성이 있습니다.
또한 여사건을 문장으로 다시 읽어보는 것이 좋습니다. 식만 확인하지 말고 “내가 계산한 것은 원래 사건이 아니라 그 사건이 일어나지 않는 경우인가?”라고 묻습니다. 이 확인만으로도 ‘적어도’와 ‘정확히’를 혼동하는 오류, 반대 사건의 범위를 일부만 잡는 오류를 줄일 수 있습니다.
여사건을 선택하는 연습
문제를 풀 때 처음부터 여사건 공식만 찾기보다 원래 사건과 반대 사건을 나란히 적어보세요. 예를 들어 ‘조건을 만족하는 대상이 하나 이상’이라고 쓰고 옆에 ‘조건을 만족하는 대상이 하나도 없음’이라고 적습니다. 두 문장을 비교하면 어느 쪽의 경우를 세는 것이 쉬운지 눈에 보입니다.
해설을 확인해야 하는 문제에서도 답을 베끼는 데 그치지 말고, 왜 직접 계산하지 않고 여사건을 선택했는지 표시해야 합니다. 이후 문제의 조건을 가리고 사건과 여사건을 각각 말해본 뒤, 계산은 해설 없이 다시 진행합니다. 용화동고2수학과외에서 이 과정을 반복하면 여사건을 공식으로만 기억하는 것이 아니라 문제의 표현에서 풀이 방향을 찾아내는 힘을 기를 수 있습니다.
결국 여사건의 핵심은 어려운 계산을 대신하는 특별한 기술이 아니라, 전체에서 제외할 부분을 바라보는 관점입니다. 원하는 결과가 여러 경우로 흩어져 있고 반대 결과가 한 가지 형태로 모인다면 여사건을 먼저 검토해 보세요. 용화동고2수학과외에서도 문제를 읽은 뒤 ‘무엇이 일어나는가’와 함께 ‘그 일이 전혀 일어나지 않는 경우는 무엇인가’를 비교하는 습관부터 익히는 것이 출발점입니다.