용화동고1수학과외 학습에서도 확인되지 않은 학교별 경향을 단정하지 않고, 학생이 실제로 받은 자료와 풀이 기록을 기준으로 현재 문제를 점검하는 것이 중요합니다.
고1 행렬 단원에서 학생들이 자주 혼동하는 부분은 행렬의 곱셈도 일반적인 수의 곱셈처럼 순서를 바꾸어 계산해도 된다고 생각하는 것입니다. 수에서는 2×3과 3×2가 같은 값이지만, 행렬에서는 AB와 BA가 서로 다른 행렬이 되거나 아예 계산할 수 없는 경우가 있습니다. 따라서 행렬의 곱셈은 계산 속도보다 먼저 곱셈이 가능한지, 그리고 주어진 순서가 무엇을 의미하는지를 확인해야 합니다.
행렬 곱셈은 크기를 먼저 확인해야 한다
행렬의 곱셈 가능 여부는 행과 열의 개수로 결정됩니다. A가 2×3 행렬이고 B가 3×2 행렬이라면 AB는 계산할 수 있습니다. 앞 행렬 A의 열 개수 3과 뒤 행렬 B의 행 개수 3이 같기 때문입니다. 이때 결과 AB의 크기는 A의 행 개수와 B의 열 개수를 따라 2×2가 됩니다.
반대로 BA를 계산하면 B의 열 개수 2와 A의 행 개수 2가 대응하므로 이번에도 계산할 수 있고, 결과는 3×3 행렬이 됩니다. 두 결과는 크기부터 다르므로 AB와 BA가 같을 수 없습니다. 이처럼 순서가 바뀌면 단순히 계산 과정만 달라지는 것이 아니라 결과 행렬의 크기와 각 원소의 의미까지 달라질 수 있습니다.
각 원소가 만들어지는 방식이 다르다
행렬의 곱셈에서 결과의 한 원소는 앞 행렬의 한 행과 뒤 행렬의 한 열을 대응시켜 곱한 뒤 더해서 구합니다. 예를 들어 A의 첫째 행이 (a, b)이고 B의 첫째 열이 (c, d)라면 AB의 첫째 원소는 ac+bd입니다. 이때 A의 행과 B의 열이 서로 연결됩니다.
하지만 순서를 BA로 바꾸면 B의 행과 A의 열을 대응시켜야 합니다. 같은 숫자가 포함되어 있더라도 서로 다른 행과 열을 결합하므로 결과가 달라집니다. 학생이 행렬의 숫자를 모두 곱한 뒤 적당히 더하는 방식으로 접근하면 이런 구조를 놓치기 쉽습니다. 계산 전에 결과 행렬의 위치를 정하고, 그 위치에 해당하는 행과 열을 표시하는 습관이 필요합니다.
간단한 예로 순서를 비교하기
다음과 같은 두 행렬을 생각해 볼 수 있습니다.
A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[2, 0], [1, 3]]
AB의 첫째 원소는 A의 첫째 행 (1, 2)와 B의 첫째 열 (2, 1)을 곱해 1×2+2×1=4가 됩니다. 반면 BA의 첫째 원소는 B의 첫째 행 (2, 0)과 A의 첫째 열 (1, 3)을 이용하므로 2×1+0×3=2가 됩니다. 같은 행렬을 사용했지만 첫째 원소부터 달라집니다.
이 예에서 중요한 것은 결과 숫자를 외우는 것이 아닙니다. AB에서는 A가 먼저 나오므로 A의 행을 기준으로 B의 열을 찾아야 하고, BA에서는 B의 행을 기준으로 A의 열을 찾아야 한다는 점입니다. 곱셈 기호만 보고 교환할 수 있다고 생각하지 말고, 행과 열의 역할을 함께 확인해야 합니다.
왜 AB와 BA를 바꾸면 안 되는가
행렬은 단순한 숫자 배열이 아니라 여러 값을 한꺼번에 변환하거나 정리하는 표현으로 사용됩니다. 어떤 행렬을 먼저 적용하느냐에 따라 최종 결과가 달라질 수 있습니다. 예를 들어 한 행렬이 좌표를 늘리고 다른 행렬이 위치를 바꾸는 역할을 한다면, 늘린 뒤 위치를 바꾸는 것과 위치를 바꾼 뒤 늘리는 것은 같은 결과가 아닐 수 있습니다.
고1 문제에서는 이런 의미를 깊게 다루기보다 행렬의 곱셈 계산과 성질을 확인하는 형태로 출제될 수 있습니다. 이때 “행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다”는 문장만 외우면 계산 중 순서를 놓치기 쉽습니다. 문제에 AB가 제시되어 있다면 반드시 A를 먼저 읽고 B를 뒤에 읽어야 하며, BA를 구하라는 말이 나오면 행렬의 위치 자체를 바꾸어 새로 계산해야 합니다.
학생들이 자주 하는 실수
- AB와 BA를 같은 값으로 생각하고 한쪽만 계산하는 경우
- 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 연결하지 않고 대각선 방향으로 계산하는 경우
- 곱셈이 가능한 크기인지 확인하지 않고 원소 계산부터 시작하는 경우
- 결과 행렬의 크기를 미리 정하지 않아 원소를 잘못 배치하는 경우
- 행렬의 덧셈과 곱셈의 규칙을 혼동하는 경우
특히 두 행렬의 크기가 같다는 이유만으로 곱셈 순서를 바꾸어도 된다고 판단하는 경우가 많습니다. 크기가 같아도 AB와 BA는 일반적으로 다릅니다. 계산을 마친 뒤 결과가 같은지 비교하는 것이 아니라, 처음부터 각 곱셈이 어떤 행과 열을 연결하는지 따져야 합니다.
문제를 풀 때의 확인 순서
먼저 각 행렬의 크기를 적습니다. A가 m×n이고 B가 p×q라면 n과 p가 같은지 확인합니다. 같다면 AB의 결과 크기는 m×q입니다. 이후 결과 행렬의 각 위치에 대해 앞 행렬의 해당 행과 뒤 행렬의 해당 열을 찾아 계산합니다.
AB와 BA를 모두 비교하는 문제라면 각각의 가능 여부를 따로 판단해야 합니다. AB가 가능하다고 해서 BA도 반드시 가능한 것은 아닙니다. 두 곱셈이 모두 가능하더라도 결과 행렬의 크기와 원소 계산 과정이 다를 수 있으므로 한쪽 결과를 재활용해서는 안 됩니다.
계산 실수를 줄이려면 결과의 크기를 빈칸으로 먼저 그린 뒤 각 위치에 필요한 행과 열을 표시하는 방법이 좋습니다. 예를 들어 2×2 결과라면 네 위치를 정하고, 첫 번째 위치는 첫째 행과 첫째 열, 두 번째 위치는 첫째 행과 둘째 열을 이용한다고 적습니다. 중간 곱셈을 생략하지 않고 한 줄씩 기록하면 숫자의 위치를 바꾸는 실수도 줄어듭니다.
오답을 확인하는 방법
행렬 곱셈을 틀렸을 때 답만 다시 계산하지 말고 오류가 처음 발생한 줄을 찾아야 합니다. 결과 행렬의 크기를 잘못 정했다면 행렬의 크기 확인 문제입니다. 행과 열을 거꾸로 연결했다면 곱셈의 정의를 적용하지 못한 경우입니다. 계산 대상은 정확했지만 숫자를 더하는 과정에서 틀렸다면 식을 세운 뒤의 산술 오류로 구분할 수 있습니다.
해설을 볼 때도 완성된 행렬만 옮겨 적지 말고, 해설에서 어떤 행과 열을 연결했는지 확인해야 합니다. 해설을 덮은 뒤 같은 문제를 다시 풀고, 숫자를 바꾼 간단한 행렬에서도 같은 방식으로 계산해 보면 순서의 의미를 실제로 이해했는지 점검할 수 있습니다.
용화동고1수학과외에서는 행렬의 곱셈을 반복 계산으로만 다루지 않고, 행렬의 크기 확인과 행·열 대응 과정을 말로 설명하도록 연습합니다. “왜 AB와 BA가 다른가?”라는 질문에 결과가 다르다고만 답하지 않고, 각각 어떤 행과 열을 결합하는지 설명할 수 있어야 새로운 형태의 문제에서도 순서를 안정적으로 지킬 수 있습니다.