확률의 덧셈정리는 공식보다 적용 상황을 먼저 판단해야 합니다
확률 문제를 풀 때 식을 알고 있어도 어떤 경우에 덧셈정리를 사용해야 하는지 바로 판단하지 못하는 학생이 많습니다. 문제에 ‘또는’이라는 말이 보이면 무조건 두 확률을 더하려고 하지만, 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지 확인하지 않으면 같은 경우를 두 번 세게 됩니다. 용현동고2수학과외에서 이 내용을 다룰 때도 공식 암기보다 사건 사이의 관계를 읽는 연습을 먼저 진행하는 이유가 여기에 있습니다.
먼저 문제에서 묻는 결과를 하나의 사건으로 묶어 보기
확률의 덧셈정리는 두 사건 중 적어도 하나가 일어날 확률을 구할 때 사용합니다. 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우를 구한다면 기본 형태는 다음과 같습니다.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
여기서 A∪B는 A와 B 중 하나 이상이 일어나는 사건이고, A∩B는 A와 B가 동시에 일어나는 사건입니다. 두 사건을 단순히 더한 뒤 겹치는 부분을 한 번 빼는 구조입니다. A의 경우를 세고 B의 경우를 세면, 두 사건에 공통으로 포함된 결과는 두 번 계산되기 때문입니다.
따라서 식을 쓰기 전에 문제의 질문을 ‘A만 일어나는가’, ‘B만 일어나는가’가 아니라 ‘A 또는 B에 해당하는 결과 전체를 구하는가’로 바꾸어 읽어야 합니다. ‘빨간 공 또는 큰 공’, ‘짝수 또는 3의 배수’, ‘국어를 선택했거나 수학을 선택한 학생’처럼 두 조건 가운데 하나 이상을 만족하는 경우라면 합집합을 생각할 수 있습니다.
동시에 일어날 수 없는지 확인하는 것이 첫 번째 기준
두 사건이 동시에 일어날 수 없다면 서로 배반이라고 합니다. 예를 들어 주사위 한 개를 던져 홀수가 나오는 사건과 짝수가 나오는 사건은 동시에 발생할 수 없습니다. 이때 교집합의 확률은 0이므로 덧셈정리는 다음처럼 간단해집니다.
P(A∪B)=P(A)+P(B)
주사위에서 1 또는 6이 나올 확률, 한 학생이 한 번의 선택에서 국어 또는 영어 중 하나를 선택할 확률처럼 한 결과가 두 사건에 동시에 속할 수 없는 상황이 이에 해당합니다. 이때는 두 조건을 만족하는 결과가 존재하지 않는다는 사실을 확인한 뒤 확률을 더하면 됩니다.
다만 문제에 ‘또는’이 있다고 해서 항상 서로 배반인 것은 아닙니다. 주사위에서 2의 배수 또는 3의 배수가 나오는 경우를 생각해 보면 6은 두 조건을 모두 만족합니다. 2, 4, 6을 세고 3, 6을 다시 세면 6이 중복됩니다. 따라서 6에 해당하는 교집합을 한 번 빼야 합니다.
겹치는 결과가 있다면 교집합을 찾아야 합니다
두 사건이 동시에 일어날 수 있는지 판단하려면 사건을 말로만 보지 말고 간단한 목록이나 집합으로 적어 보는 것이 좋습니다. 주사위에서 A를 ‘짝수가 나오는 사건’, B를 ‘3의 배수가 나오는 사건’이라고 하면
A={2, 4, 6}, B={3, 6}
이므로 A와 B가 겹치는 결과는 6 하나입니다. 따라서
P(A)=3/6, P(B)=2/6, P(A∩B)=1/6
이고, 짝수 또는 3의 배수가 나올 확률은 3/6+2/6-1/6=4/6입니다. 단순히 5/6으로 계산하면 6을 두 번 포함한 결과가 됩니다.
용현동고2수학과외에서 이런 문제를 풀이할 때는 계산 속도보다 ‘겹치는 결과가 무엇인가’를 말로 설명하게 하는 것이 중요합니다. 교집합을 정확히 찾으면 공식의 마지막 항을 왜 빼는지 자연스럽게 이해할 수 있습니다.
‘또는’과 ‘그리고’를 구분하되 단어만 믿지는 않기
‘또는’은 일반적으로 합집합을 나타내고, ‘그리고’는 교집합을 나타내는 경우가 많습니다. 하지만 문장에 등장하는 접속사만 보고 판단하면 부족합니다. 실제로 두 조건이 동시에 가능한지를 확인해야 합니다.
예를 들어 어떤 학생이 ‘남학생 또는 안경을 쓴 학생’에 해당할 확률을 구한다면, 남학생이면서 안경을 쓴 학생이 있을 수 있습니다. 이때 두 조건의 교집합을 빼야 합니다. 반면 한 번의 추첨에서 ‘1등 또는 2등’을 뽑는 상황처럼 결과가 하나의 순위로만 결정되고 두 순위를 동시에 가질 수 없다면 서로 배반인 사건으로 볼 수 있습니다.
문제를 읽을 때 다음 질문을 순서대로 던지면 판단이 쉬워집니다.
- 문제에서 구하려는 결과는 두 사건 중 하나 이상에 해당하는가?
- 한 결과가 두 사건을 동시에 만족할 수 있는가?
- 동시에 만족하는 결과를 목록이나 조건으로 표현할 수 있는가?
- 겹치는 부분을 이미 한 번씩 센 것은 아닌가?
조건이 복잡할수록 표나 집합으로 정리하기
경우의 수가 많아지면 머릿속으로 겹치는 부분을 판단하기 어렵습니다. 이때는 사건의 조건을 표로 나누거나 벤다이어그램으로 나타내면 됩니다. 먼저 A에 해당하는 영역을 표시하고, B에 해당하는 영역을 추가한 뒤 가운데 겹치는 부분을 확인합니다. 합집합은 두 영역을 모두 포함하지만, 겹친 부분은 한 번만 세어야 합니다.
문제에서 전체 학생 수와 각 조건에 해당하는 학생 수를 제시하는 경우에도 같은 원리가 적용됩니다. 예를 들어 수학 동아리 학생 수와 과학 동아리 학생 수를 더한 뒤 두 동아리에 모두 속한 학생 수를 빼면, 적어도 한 동아리에 속한 학생 수를 구할 수 있습니다. 이후 전체 학생 수로 나누면 해당 확률이 됩니다.
반대로 두 사건이 서로 배반이라고 문제에서 명확히 주어졌거나, 조건상 동시에 만족할 수 없음이 분명하다면 교집합을 별도로 계산할 필요가 없습니다. 불필요하게 복잡한 식을 세우기보다 왜 교집합이 0인지 한 문장으로 확인하고 넘어가는 것이 좋습니다.
자주 하는 오류는 계산보다 사건 해석에서 생깁니다
첫 번째 오류는 ‘또는’이라는 말만 보고 두 확률을 무조건 더하는 것입니다. 두 번째는 교집합을 빼야 하는 상황에서 이를 빠뜨리는 것입니다. 세 번째는 ‘적어도 하나’와 ‘정확히 하나’를 같은 의미로 생각하는 것입니다.
‘A 또는 B’가 적어도 하나를 뜻한다면 A와 B가 모두 일어난 경우도 포함합니다. 반면 ‘A와 B 중 정확히 하나’라면 둘 다 일어난 경우는 제외해야 하므로 단순한 합집합 확률과 다른 계산이 필요합니다. 문제의 표현을 식으로 옮기기 전에 포함되는 경우와 제외되는 경우를 먼저 적어 보는 습관이 필요합니다.
또한 확률을 계산한 뒤 값이 1을 초과하는지도 확인해야 합니다. 두 확률을 더한 값이 1보다 커졌다면 사건이 겹치는데 교집합을 빼지 않았을 가능성이 있습니다. 물론 확률 자체가 잘못되었을 수도 있지만, 덧셈정리에서는 중복 계산 여부를 가장 먼저 점검할 수 있습니다.
공식을 외우는 대신 말로 풀이를 시작하기
연습할 때는 문제를 읽은 뒤 바로 숫자를 대입하지 말고 다음처럼 말해 보세요. “구하려는 것은 A 또는 B에 해당하는 경우다. A와 B가 동시에 가능한지 확인한다. 가능하다면 겹치는 부분을 한 번 뺀다.” 이 문장을 풀이 옆에 짧게 적는 것만으로도 공식 선택의 실수가 줄어듭니다.
해설을 확인한 뒤에도 식만 베껴 쓰지 말고, 교집합을 빼거나 빼지 않은 이유를 자신의 말로 다시 설명해야 합니다. 다음 날 같은 문제를 보았을 때 숫자를 기억해서 푸는 것이 아니라 사건의 관계를 다시 판단할 수 있어야 합니다. 용현동고2수학과외에서는 정답을 맞혔는지뿐 아니라 어떤 결과가 겹치는지 설명하는 과정을 통해 덧셈정리의 적용 기준을 점검할 수 있습니다.
결국 핵심은 ‘더할 것인가’가 아니라 ‘무엇을 더하고, 무엇이 중복되는가’를 판단하는 데 있습니다. 문제의 조건을 사건으로 나누고, 동시 발생 가능성을 확인한 뒤, 겹치는 부분을 한 번만 포함하면 확률의 덧셈정리를 훨씬 안정적으로 적용할 수 있습니다.