고1 수학에서 행렬의 곱셈을 처음 배운 학생들이 가장 자주 하는 실수는 행렬의 각 원소를 같은 위치끼리 곱하는 것입니다. 일반적인 수의 곱셈에서는 어떤 두 수를 곱해도 곱셈의 순서를 바꾸었을 때 결과가 같고, 각각의 수를 독립적으로 계산할 수 있습니다. 하지만 행렬은 여러 수가 행과 열의 위치에 따라 배열된 표현이므로, 곱셈할 때 원소의 위치와 행렬의 크기를 함께 확인해야 합니다.
행렬은 단순히 숫자를 모아 둔 표가 아니다
행렬을 숫자가 들어 있는 표 정도로만 생각하면 곱셈 규칙이 불필요하게 복잡해 보입니다. 행렬은 자료를 행과 열의 구조로 정리한 표현이며, 한 행과 한 열이 만나 새로운 원소를 만듭니다. 따라서 두 행렬을 곱할 때는 첫 번째 행렬의 행과 두 번째 행렬의 열을 연결합니다.
예를 들어 A가 2×3 행렬이고 B가 3×2 행렬이라면 AB는 계산할 수 있습니다. A의 한 행에는 세 개의 원소가 있고, B의 한 열에도 세 개의 원소가 있기 때문입니다. 각 위치의 원소를 차례로 곱한 뒤 더하면 AB의 원소 하나가 만들어집니다. 반면 A가 2×3이고 B가 2×2라면 A의 행에 있는 원소 수와 B의 열에 있는 원소 수가 다르므로 곱셈이 정의되지 않습니다.
계산 가능 여부를 먼저 판단해야 한다
행렬 문제를 보자마자 원소 계산부터 시작하면 안 됩니다. 먼저 앞 행렬의 열의 개수와 뒤 행렬의 행의 개수를 비교해야 합니다. 이 두 수가 같아야 곱셈이 가능합니다. 그리고 결과 행렬의 크기는 앞 행렬의 행 개수와 뒤 행렬의 열 개수로 결정됩니다.
예를 들어 2×3 행렬과 3×4 행렬을 곱하면 결과는 2×4 행렬입니다. 가운데의 3은 곱셈이 가능한지를 판단하는 숫자이고, 양 끝의 2와 4는 결과의 크기를 결정하는 숫자입니다. 학생이 이 구조를 확인하지 않고 계산하면 결과 행렬의 크기를 잘못 쓰거나, 존재하지 않는 곱셈을 억지로 진행하게 됩니다.
원소별 곱셈이 아닌 행과 열의 내적
두 행렬을 곱할 때 각 원소를 같은 위치끼리 곱하는 것은 행렬의 곱셈이 아닙니다. 다음과 같은 두 행렬을 생각해 볼 수 있습니다.
A의 첫 번째 행이 (a, b)이고 B의 첫 번째 열이 (e, g)라면 AB의 첫 번째 원소는 ae+bg입니다. 즉, 대응하는 원소를 곱한 뒤 그 결과를 더합니다. 이 과정을 모든 행과 열의 조합에 반복합니다.
학생이 자주 하는 오류는 ae만 쓰고 bg를 빠뜨리는 경우, 곱한 결과를 더하지 않고 나열하는 경우, 행과 행 또는 열과 열을 연결하는 경우입니다. 계산하기 전 결과 행렬의 각 칸에 어떤 행과 열이 만나는지를 표시하면 이러한 실수를 줄일 수 있습니다.
곱셈 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 이유
일반적인 수에서는 2×3과 3×2가 모두 6이므로 곱셈의 순서를 바꾸어도 결과가 같습니다. 그러나 행렬에서는 AB와 BA가 서로 다른 행렬이 될 수 있습니다. 두 곱이 모두 정의되더라도 계산에 사용되는 행과 열의 조합이 달라지기 때문입니다.
또한 AB는 계산할 수 있지만 BA는 계산할 수 없는 경우도 있습니다. 예를 들어 A가 2×3이고 B가 3×4이면 AB는 가능하지만, BA는 3×4와 2×3을 곱하는 형태가 되어 가운데 숫자가 일치하지 않습니다. 따라서 행렬에서는 단순히 “순서를 바꿔도 되는가”를 묻는 것이 아니라, 각 곱셈이 실제로 정의되는지와 결과의 크기가 무엇인지를 따로 확인해야 합니다.
일반적인 곱셈 법칙을 그대로 적용하면 안 되는 부분
행렬에서도 분배법칙은 성립하지만, 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않습니다. A(B+C)=AB+AC처럼 행렬의 곱셈도 덧셈에 대해서는 분배할 수 있습니다. 그러나 AB=BA라고 할 수는 없습니다. 같은 행렬을 두 번 곱하는 경우가 아니라면 순서를 바꾸었을 때 계산에 참여하는 행과 열이 달라집니다.
이 차이를 외우는 데 그치지 않으려면 실제 계산 결과의 크기부터 비교해 보는 것이 좋습니다. AB의 크기와 BA의 크기가 서로 다르게 나올 수 있다면 두 결과가 같은 대상이라고 보기 어렵습니다. 크기가 같더라도 각각의 원소를 만드는 계산식이 다르므로 결과가 달라질 수 있습니다.
문제 풀이에서 사용할 확인 순서
용현동고1수학과외에서 행렬 곱셈을 지도할 때는 다음과 같은 순서로 문제를 읽도록 합니다. 먼저 두 행렬의 크기를 적습니다. 다음으로 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수를 비교해 계산 가능 여부를 판단합니다. 곱셈이 가능하다면 결과 행렬의 크기를 먼저 빈칸으로 표시합니다. 그 뒤 결과 행렬의 첫 번째 칸부터 어떤 행과 열을 사용할지 확인하며 계산합니다.
계산이 끝난 뒤에는 결과 행렬의 크기가 처음 예상한 것과 같은지 살펴봅니다. 원소 하나를 계산할 때 곱셈의 개수가 앞 행렬의 열 수와 같은지도 확인할 수 있습니다. 2×3과 3×2의 곱이라면 결과의 각 원소는 세 쌍의 곱을 더한 형태여야 합니다. 두 쌍만 계산했다면 원소를 빠뜨린 것입니다.
오답을 단순 계산 실수로 처리하지 않기
행렬 곱셈에서 틀린 답이 나왔을 때 무조건 계산 실수라고 판단하면 같은 오류가 반복됩니다. 첫째, 행렬의 크기를 잘못 읽었는지 확인해야 합니다. 둘째, 곱셈이 가능한 조건을 확인했는지 봅니다. 셋째, 결과 행렬의 크기를 잘못 정했는지 살펴봅니다. 넷째, 행과 열을 연결했는지, 같은 위치의 원소를 곱했는지 구분해야 합니다.
예를 들어 모든 원소를 같은 위치끼리 곱했다면 계산 속도의 문제가 아니라 곱셈의 의미를 잘못 이해한 것입니다. 반대로 행과 열을 정확히 연결했지만 부호나 덧셈에서 틀렸다면 계산 기록을 한 줄씩 확인하는 방식이 필요합니다. 틀린 문제는 정답만 다시 적지 말고, 처음 규칙을 잘못 적용한 줄에 표시해야 합니다.
행렬을 실제 변환의 관점에서 보기
행렬의 곱셈이 순서를 중요하게 여기는 이유는 행렬이 어떤 값을 다른 형태로 바꾸는 과정으로도 해석되기 때문입니다. 먼저 한 행렬을 적용한 뒤 다른 행렬을 적용하는 것과, 순서를 바꾸어 적용하는 것은 일반적으로 같은 결과를 만들지 않습니다. 고1 과정에서는 이 의미를 깊게 확장하지 않더라도, 행렬의 곱셈이 단순한 숫자 묶음의 계산이 아니라 정해진 순서의 결합이라는 점을 이해하는 데 도움이 됩니다.
따라서 행렬 문제를 풀 때는 공식을 빠르게 대입하는 것보다 “어느 행과 어느 열이 만나는가”, “이 곱셈은 가능한가”, “순서를 바꾸어도 같은 의미인가”를 먼저 질문해야 합니다. 용현동고1수학과외에서도 이러한 확인 과정을 반복해 행렬의 크기와 곱셈 규칙을 안정적으로 연결하도록 연습할 수 있습니다.
행렬의 곱셈은 일반적인 수의 곱셈보다 규칙이 많은 것이 아니라, 숫자의 위치와 배열이 계산에 직접 참여한다는 점이 다릅니다. 크기 확인, 행과 열의 연결, 원소의 곱을 더하는 과정, 곱셈 순서의 구별을 차례로 습관화하면 규칙을 외운 뒤에도 자주 틀리는 문제를 줄일 수 있습니다.