삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제에서 많은 학생이 공식을 바로 떠올리려 합니다. 그러나 실제로는 식의 형태를 먼저 확인하고, 주어진 범위 안에서 값이 어디까지 나올 수 있는지 판단하는 과정이 더 중요합니다. 특히 고2 문제에서는 단순히 사인과 코사인의 범위를 적는 것만으로 끝나지 않고, 두 삼각함수가 함께 등장하거나 각의 범위가 제한되는 경우가 자주 나옵니다.
먼저 식의 형태를 구분해야 하는 이유
예를 들어 y=3sin x+4cos x와 같은 식은 사인과 코사인을 각각 따로 계산하는 문제가 아닙니다. sin x와 cos x는 독립적으로 아무 값이나 갖는 것이 아니라 같은 각 x에 의해 동시에 결정됩니다. 따라서 -1≤sin x≤1, -1≤cos x≤1만 이용해 범위를 합치면 정확하지 않을 수 있습니다.
이때 다음과 같은 변형을 사용합니다.
a sin x+b cos x=√(a²+b²) sin(x+α)
여기서 cos α=a/√(a²+b²), sin α=b/√(a²+b²)로 둘 수 있습니다. 그러면 사인 함수의 값은 항상 -1 이상 1 이하이므로 전체 식의 범위는
-√(a²+b²)≤a sin x+b cos x≤√(a²+b²)
가 됩니다. 따라서 3sin x+4cos x의 최댓값은 5, 최솟값은 -5입니다. 이 결과는 단순히 계수를 더한 것이 아니라 두 계수를 직각삼각형의 변처럼 보고 길이를 구한 것과 같습니다.
최댓값과 최솟값이 실제로 가능한지 확인하기
범위의 양 끝값을 구했다고 해서 항상 답이 완성되는 것은 아닙니다. 문제에서 0≤x≤π/2처럼 각의 범위를 제한했다면, 전체 실수 범위에서 가능한 최댓값과 최솟값이 해당 구간에서도 나타나는지 확인해야 합니다.
예를 들어 y=3sin x+4cos x에서 0≤x≤π/2라면 사인과 코사는 모두 0 이상이므로 식의 값도 0 이상입니다. 이 구간에서 최댓값은 양 끝값 또는 내부의 특정 지점에서 확인해야 합니다. sin x와 cos x의 계수가 모두 양수인 경우에는 두 항의 균형이 가장 잘 맞는 지점에서 값이 커지며, tan x=3/4인 각에서 최댓값 5가 됩니다. 최솟값은 구간의 끝을 비교해 결정할 수 있습니다.
즉, ±√(a²+b²)는 각의 범위가 충분히 넓어 그 값에 도달할 수 있을 때의 전체 범위입니다. 제한된 구간이 있으면 반드시 그 구간에서 해당 각이 가능한지 살펴봐야 합니다.
변환 공식이 보이지 않을 때의 판단
모든 문제를 처음부터 합성 공식으로 바꿀 필요는 없습니다. 식이 a sin x+b cos x 형태라면 계수의 제곱합을 먼저 확인합니다. 계수가 3과 4라면 3²+4²=25이므로 전체 범위의 크기가 5라는 사실을 빠르게 예상할 수 있습니다.
계수가 복잡한 분수나 근호로 주어져도 같은 방식으로 처리합니다. 먼저 a²+b²를 계산한 뒤 제곱근을 취합니다. 이후 문제에서 각의 범위를 주었다면, 그 범위 안에서 식을 직접 비교하거나 미분 없이 끝점과 특별한 각을 확인합니다. 고2 과정에서는 계산 자체보다 식의 구조를 알아보는 능력이 시간을 줄여 줍니다.
사인 함수 하나로 이루어진 식
y=A sin(Bx+C)+D 형태라면 사인 함수의 범위부터 적용합니다. -1≤sin(Bx+C)≤1이므로 A가 양수일 때 범위는 D-A≤y≤D+A입니다. A가 음수라면 양 끝의 순서가 바뀌지만, 최댓값과 최솟값은 절댓값을 이용해 각각 D+|A|, D-|A|로 정리할 수 있습니다.
이때 B와 C는 기본적으로 최댓값과 최솟값의 크기를 바꾸지 않습니다. B는 그래프가 반복되는 간격에 영향을 주고, C는 그래프를 좌우로 이동시키며, D는 전체 그래프를 위아래로 이동시킵니다. 따라서 진폭과 수직 이동을 먼저 읽으면 복잡한 그래프를 직접 그리지 않고도 전체 범위를 찾을 수 있습니다.
이차식이나 치환이 필요한 문제
삼각함수가 제곱으로 나타나면 t=sin x 또는 t=cos x로 치환해 생각할 수 있습니다. 이때 반드시 -1≤t≤1이라는 조건을 함께 적어야 합니다. 예를 들어 y=2sin²x-3sin x+1이라면 t=sin x로 두어 y=2t²-3t+1, -1≤t≤1로 바꿉니다. 이후 이차함수의 꼭짓점이 구간 안에 있는지 확인하고, 꼭짓점과 양 끝값을 비교합니다.
학생들이 자주 하는 실수는 치환 뒤의 범위를 빠뜨리는 것입니다. 그러면 이차함수 전체의 최댓값이나 최솟값을 구하게 되어 원래 삼각함수 문제와 다른 답을 얻을 수 있습니다. 치환은 식을 단순하게 만드는 도구이지만, 원래 변수의 조건을 함께 옮겨야 의미가 유지됩니다.
풀이를 점검하는 방법
- 사인과 코사가 일차식으로 함께 있는지, 한 삼각함수만 있는지 먼저 구분합니다.
- a sin x+b cos x라면 √(a²+b²)를 계산해 가능한 전체 범위를 예상합니다.
- 각의 범위가 제시되었으면 전체 범위의 양 끝값이 그 구간에서 실제로 가능한지 확인합니다.
- 제곱이 포함되면 치환 후 변수의 범위까지 함께 적습니다.
- 최댓값이나 최솟값을 얻는 각을 요구한다면, 그 값이 나오는 조건도 직접 확인합니다.
용곡동고2수학과외에서 이 유형을 연습할 때는 답만 맞히는 것보다 “왜 이 식의 범위가 이 정도인가”를 말로 설명해보는 것이 좋습니다. 문제를 본 뒤 식의 형태, 변수의 범위, 양 끝값의 가능성을 차례로 확인하면 낯선 계수나 복잡한 각이 나와도 풀이 방향을 잃지 않게 됩니다.
삼각함수의 최댓값과 최솟값은 공식을 많이 외우는 것보다 함수의 범위와 주어진 조건을 함께 읽는 데서 결정됩니다. 용곡동고2수학과외 학습에서도 먼저 전체 범위를 예상한 다음 제한된 구간과 실제 도달 여부를 점검하는 습관을 만들면 계산 실수와 조건 누락을 줄일 수 있습니다.