삼각함수 그래프를 그릴 때 식의 모양과 교점은 확인하면서도 반복되는 간격을 정확히 잡지 못하는 학생이 많습니다. 특히 그래프가 얼마나 넓게 또는 좁게 반복되는지는 단순히 주어진 각도를 읽는 것만으로 해결되지 않습니다. 식 안의 계수가 한 주기 안에서 입력값을 얼마나 빠르게 변화시키는지 살펴봐야 합니다.
주기는 그래프가 다시 같은 모습으로 돌아오는 간격
삼각함수 그래프의 주기란 그래프의 모양이 처음과 똑같이 반복되는 가로 방향의 길이입니다. 사인 그래프에서 어떤 점의 높이만 같다고 주기가 끝난 것은 아닙니다. 같은 함수값뿐 아니라 그 지점에서의 증가·감소 방향까지 같아야 전체 모양이 반복되었다고 볼 수 있습니다.
예를 들어 y=sin x의 그래프는 0에서 출발해 올라가고, 최고점을 지난 뒤 내려와 다시 같은 출발 상태로 돌아옵니다. 이때 한 바퀴에 해당하는 가로 길이가 2π이므로 주기는 2π입니다. y=cos x도 같은 방식으로 한 번의 반복에 필요한 길이는 2π입니다.
주기는 같은 높이를 찾는 것이 아니라, 같은 모양과 같은 진행 방향이 다시 나타나는 간격입니다.
식 안의 계수가 주기를 바꾸는 원리
y=sin bx에서 중요한 것은 x 앞의 계수 b입니다. 기본 사인 함수는 입력값이 2π만큼 변해야 한 주기를 완성하지만, bx가 2π만큼 변하는 데 필요한 x의 변화량은 2π/|b|입니다. 따라서 사인과 코사인 그래프의 주기는 다음처럼 정리됩니다.
y=sin bx, y=cos bx의 주기: 2π/|b|
예를 들어 y=sin 2x는 x가 π만큼 변할 때 안쪽의 각도 2x가 2π만큼 변합니다. 그래서 주기는 π입니다. 반대로 y=sin(x/3)에서는 x가 6π만큼 변해야 안쪽의 값이 2π만큼 변하므로 주기가 6π가 됩니다.
이때 계수의 부호는 주기의 크기를 바꾸지 않습니다. y=sin(-2x)에서 -는 그래프의 방향이나 대칭과 관련되지만, 주기는 2π/|-2|=π입니다. 주기를 구할 때는 계수의 절댓값을 사용하는 이유가 여기에 있습니다.
그래프를 보고 주기를 찾는 순서
식이 주어졌다면 먼저 사인인지 코사인인지 확인한 뒤, x 안에 들어 있는 계수를 찾습니다. 앞에 붙은 숫자만 보는 것이 아니라 괄호 안의 x의 계수를 정확히 확인해야 합니다. 예를 들어 y=cos(3x-π)에서는 괄호 안의 x의 계수가 3이므로 주기는 2π/3입니다. 뒤의 -π는 그래프를 좌우로 이동시키지만 주기 자체를 바꾸지는 않습니다.
그래프가 주어진 경우에는 같은 상태의 점을 찾는 것이 먼저입니다. 사인 그래프라면 중심선을 위로 통과하며 증가하는 점, 코사인 그래프라면 최고점이나 최저점처럼 동일한 특징이 반복되는 점을 비교합니다. 단순히 x축과 만나는 점 두 개를 고르면 방향이 반대일 수 있으므로 주기를 잘못 판단할 수 있습니다.
- 같은 높이인지 확인한다.
- 두 점에서 그래프가 올라가는지 내려가는지 비교한다.
- 두 점의 x좌표 차이를 계산한다.
- 그 간격이 한 번의 전체 반복인지, 반 주기인지 살핀다.
최고점에서 다음 최저점까지의 간격은 사인이나 코사인에서는 한 주기의 절반입니다. 최고점에서 다음 최고점까지, 또는 같은 방향으로 중심선을 통과하는 점에서 다음 같은 점까지의 간격이 한 주기입니다.
탄젠트 그래프는 기준 주기가 다르다
탄젠트 함수는 사인과 코사인처럼 최고점과 최저점이 반복되지 않습니다. 대신 그래프가 정의되지 않는 수직 점근선 사이의 모양이 반복됩니다. 기본 함수 y=tan x의 주기는 π이고, y=tan bx의 주기는 π/|b|입니다.
따라서 y=tan 2x의 주기는 π/2입니다. 점근선 사이의 간격을 보고 주기를 판단할 때도 점근선 하나에서 다음 점근선까지가 한 주기인지 확인해야 합니다. 사인·코사인의 공식인 2π/|b|를 그대로 적용하면 안 됩니다.
주기와 다른 변화를 구분하기
y=a sin bx+d 형태에서 a는 그래프의 세로 크기를 바꾸고, d는 중심선을 위아래로 이동시킵니다. 이 두 값은 주기를 결정하지 않습니다. 주기는 x의 변화 속도와 관련된 b가 결정합니다.
예를 들어 y=3sin 4x+2에서는 진폭이 3이고 중심선은 y=2이며 주기는 2π/4=π/2입니다. 그래프가 위로 이동하거나 더 크게 보인다고 해서 반복 간격까지 달라진다고 생각하면 안 됩니다. 식을 볼 때는 세로 변화와 가로 반복을 분리해서 읽는 습관이 필요합니다.
문제에 적용할 때의 연습 방법
약사동고2수학과외에서 주기 문제를 연습할 때는 공식을 여러 번 쓰는 것보다 식과 그래프를 연결하는 과정이 중요합니다. 먼저 계수가 1인 기본 그래프의 한 주기를 적고, x 앞의 계수가 2배가 되면 같은 모양이 절반의 가로 길이에 들어간다는 식으로 비교해 보세요. 계수가 1/2이면 반대로 가로 길이가 두 배가 됩니다.
문제를 푼 뒤에는 다음 세 가지를 말로 설명해 보는 것이 좋습니다. 첫째, 어떤 함수의 기본 주기를 사용했는가. 둘째, x 앞의 계수가 무엇인가. 셋째, 평행이동이나 진폭 변화와 주기를 혼동하지 않았는가입니다. 그래프 문제라면 계산한 주기를 실제 그림의 반복 간격과 대조해야 합니다.
또한 답을 구한 뒤 작은 구간을 임의로 잡아 값만 대입하는 방식은 주기를 확인하는 데 충분하지 않을 수 있습니다. 같은 함수값이 여러 번 나타날 수 있기 때문입니다. 대신 한 주기의 시작점과 끝점에서 그래프의 위치와 진행 방향이 같은지 확인하세요. 이 과정을 반복하면 공식이 단순한 암기가 아니라 그래프의 반복 구조를 나타낸다는 점을 이해할 수 있습니다.
약사동고2수학과외에서 삼각함수 그래프를 다룰 때도 핵심은 식의 모든 숫자를 한꺼번에 해석하는 것이 아닙니다. 먼저 함수의 종류를 정하고, x의 계수로 주기를 계산한 뒤, 나머지 계수는 진폭과 이동을 구분해 읽어야 합니다. 이 순서를 지키면 식이 복잡해져도 그래프의 반복 간격을 안정적으로 판단할 수 있습니다.