삼각형의 내심은 단순히 공식에 숫자를 대입해 찾는 점이 아닙니다. 세 각의 이등분선이 한 점에서 만나고, 그 점에서 삼각형의 세 변까지의 거리가 같다는 두 가지 특징을 함께 이해해야 합니다. 신현동중2수학과외에서는 내심을 그림 속 위치와 각의 관계로 연결해 보며, 문제의 조건에서 어떤 성질을 꺼내야 하는지 연습합니다.
내심은 어디에서 만들어지는가
삼각형에서 한 각을 정확히 반으로 나누는 선을 그으면 그 선을 각의 이등분선이라고 합니다. 세 각에서 각각 이등분선을 그었을 때 이 선들은 한 점에서 만납니다. 이 교점이 삼각형의 내심입니다.
A
B
C
I
같은 거리
I는 세 각의 이등분선의 교점이며, 세 변까지의 거리가 같습니다.
그림에서 점 I를 바로 가운데에 있는 점이라고만 기억하면 안 됩니다. 삼각형이 기울어지거나 모양이 달라져도 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 곳에 있습니다. 따라서 그림의 정중앙처럼 보이는지보다 이등분선의 교점인지 확인하는 것이 중요합니다.
그림에서 반드시 확인할 세 가지
- 각의 이등분선 표시를 찾습니다. 한 각이 두 개의 같은 각으로 나뉘었다는 표시가 있는지 살펴봅니다.
- 세 이등분선의 교점을 확인합니다. 두 선만 만나는 점을 내심이라고 단정하지 말고, 나머지 한 선도 같은 점을 지나는지 봅니다.
- 변까지 내린 수선을 생각합니다. 점 I에서 각 변에 수선을 내리면 세 수선의 길이가 같아집니다.
특히 마지막 성질은 내접원의 중심이라는 의미와 연결됩니다. 점에서 직선까지의 거리는 아무 선분의 길이가 아니라 수직으로 잰 가장 짧은 거리입니다. 내심을 중심으로 삼각형의 세 변에 접하는 원을 그릴 수 있는 이유도 세 변까지의 거리가 모두 같기 때문입니다.
각의 이등분선과 같은 거리의 관계
한 점이 어떤 각의 두 변에서 같은 거리에 있다면 그 점은 그 각의 이등분선 위에 놓입니다. 반대로 각의 이등분선 위에 있는 점은 각의 두 변까지의 거리가 같습니다. 이 관계를 알고 있으면 문제에서 내심과 수선의 길이가 함께 제시된 이유를 이해할 수 있습니다.
예를 들어 점 I가 삼각형의 내심이고, 각 변에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하면 ID, IE, IF는 모두 같은 길이입니다. 문제에서 ID의 길이만 알려 주어도 나머지 두 수선의 길이를 판단할 수 있습니다. 여기서 중요한 것은 세 선분이 그림에서 비슷하게 보인다는 점이 아니라, 내심의 정의와 각의 이등분선 성질에 의해 같다는 점입니다.
각의 크기를 구할 때 내심을 활용하는 법
내심 I가 있을 때 두 각의 이등분선이 만드는 각은 원래 삼각형의 나머지 한 각과 연결됩니다. 삼각형 ABC의 내심을 I라고 하면 ∠BIC = 90° + 1/2∠A입니다. 이 식을 외우기 전에 그림에서 왜 그런지 확인하는 습관이 필요합니다.
∠IBC는 B의 절반, ∠ICB는 C의 절반입니다. 삼각형 BIC의 내각의 합을 이용하면 ∠BIC는 180°에서 B와 C의 절반을 뺀 값입니다. B+C=180°-A이므로 결과는 90°+A의 절반이 됩니다. 문제에서 ∠A와 내심을 둘러싼 각이 주어졌다면, 이 관계를 이용해 미지의 각을 찾을 수 있습니다.
기본 문제와 변형 문제의 차이
기본 문제에서는 세 각의 이등분선이 표시되어 있고 내심 I도 주어져 있어 성질을 바로 적용하면 됩니다. 반면 변형 문제에서는 이등분선 표시가 생략되거나, 내심에서 변까지 내린 수선과 여러 작은 삼각형이 함께 제시될 수 있습니다. 이때 막히는 이유는 계산량보다 그림 속 정보의 역할을 구분하지 못하기 때문입니다.
문제를 보면 먼저 주어진 각의 크기, 같은 각을 나타내는 표시, 수직 표시, 같은 길이 표시를 따로 표시해 보세요. 그다음 ‘I가 내심이므로 자동으로 성립하는 것’과 ‘문제 그림에 실제로 주어진 것’을 나누어 적습니다. 그림의 모양만 보고 두 선분이 같다고 판단하지 말고, 각의 이등분선이나 수선이라는 근거를 찾아야 합니다.
오늘 해 볼 내심 학습 방법
노트에 모양이 서로 다른 삼각형 세 개를 그린 뒤, 각의 이등분선을 두 개씩 그어 교점을 표시해 보세요. 삼각형의 모양이 달라져도 세 번째 이등분선이 같은 점을 지나는지 확인합니다. 이어서 그 점에서 세 변에 수선을 내리고 세 수선의 길이가 같다는 것을 표시합니다.
다음에는 그림을 가린 상태에서 ‘내심은 무엇의 교점인가’, ‘내심에서 세 변까지의 거리는 어떠한가’, ‘내심을 이용해 어떤 각을 구할 수 있는가’를 문장으로 설명해 보세요. 풀이를 끝낸 뒤에는 답만 확인하지 말고, 내심의 성질을 실제로 사용한 줄에 밑줄을 긋는 것이 좋습니다.
신현동중2수학과외에서는 내심을 가운데 점으로 암기하는 데서 멈추지 않고, 각의 이등분선·수선·내접원의 중심이라는 관계를 하나의 그림 안에서 읽도록 지도합니다. 신현동중2수학과외 학습에서도 그림을 먼저 해석하고 성질을 선택하는 순서를 익히면, 모양이 달라진 내심 문제에 흔들리지 않고 풀이를 시작할 수 있습니다.