수곡동 수학과외

여러 명을 같은 인원수의 조로 나누는 문제에서 조합식을 알고도 답이 자주 달라지는 학생이 있습니다. 특히 ‘두 명씩 고르기’를 반복한 뒤 무엇을 나누어야 하는지 막히거나, 전에 풀었던 모둠 편성 문제의 풀이를 그대로 가져왔다가 조건을 놓치는 경우에 필요한 내용입니다. 수곡동 수학과외에서는 계산 속도보다 먼저 조에 이름이 있는지, 조의 순서가 결과를 바꾸는지부터 확인하는 과정이 중요합니다.

먼저 확인할 것은 조의 이름과 순서입니다

분할 문제는 사람을 고르는 과정이 아니라 최종적으로 어떤 묶음들이 만들어졌는지를 세는 문제입니다. 예를 들어 6명의 서로 다른 학생을 2명씩, 모두 3개의 조로 나눈다고 하겠습니다. 조를 A조·B조·C조처럼 구분하지 않고, 세 조의 크기도 모두 2명이라면 {가,나}, {다,라}, {마,바}와 {다,라}, {가,나}, {마,바}는 같은 분할입니다. 조를 적은 위치만 바뀌었을 뿐 각 학생의 짝은 같기 때문입니다.

반대로 ‘첫 번째 조에는 2명, 두 번째 조에는 2명, 세 번째 조에는 2명’처럼 조의 자리가 구별되거나 조마다 역할이 정해져 있다면 순서가 결과에 영향을 줍니다. 이 차이를 확인하지 않은 채 이전 문제의 식을 옮기면, 같은 조를 여러 번 세거나 필요한 순서를 지워 버릴 수 있습니다.

대표 문제에서 중복이 생기는 지점

예시 문제를 직접 풀어 보겠습니다. 서로 다른 6명 가, 나, 다, 라, 마, 바를 이름 없는 2명짜리 조 3개로 나누는 경우의 수를 구합니다. 한 학생씩 일렬로 세운 뒤 앞의 두 명, 다음 두 명, 마지막 두 명을 한 조로 묶는 방법은 6!가지 배열에서 시작합니다. 그러나 각 조 안에서는 두 학생의 순서를 바꾸어도 같은 조이므로 2!씩 세 번, 즉 2!³으로 나누어야 합니다. 여기까지는 조의 내부 순서만 없앤 상태입니다.

이제 만들어진 세 조 자체도 이름이 없으므로, 같은 세 조를 나열한 순서가 3!가지씩 중복됩니다. 따라서 경우의 수는 6!÷(2!³×3!)=720÷48=15입니다. 답은 15가지입니다. 원래 식으로도 확인할 수 있습니다. 첫 조로 고른 두 명, 둘째 조로 고른 두 명, 마지막 조의 두 명을 차례로 고르면 6C2×4C2×2C2=90가지인데, 최종 조 세 개는 어느 조를 먼저 골랐는지에 따라 3!가지씩 반복되므로 90÷6=15입니다. 두 계산이 같은 답에 이르는지 대조하는 것이 실제 검산이 됩니다.

학생의 시도는 어디까지 맞았는지 나누어 봅니다

학생이 6C2×4C2×2C2=90이라고 썼다면 ‘2명씩 뽑아 남은 학생으로 다음 조를 만든다’는 과정은 맞게 잡았을 수 있습니다. 이때 바로 조합을 다시 설명하기보다 “첫 번째로 만든 {가,나}를 두 번째에 만들고 {다,라}를 첫 번째에 만들면, 최종 짝은 달라졌니?”라고 묻는 편이 원인을 구분하는 데 도움이 됩니다. 같은 결과라고 답하면 조의 순서 중복을 살피는 단계가 남았다는 뜻입니다.

반면 90을 2!로만 나누는 학생에게는 조 안의 순서와 조들 사이의 순서를 한 덩어리로 기억했는지 확인합니다. “가와 나의 자리 교환은 무엇을 바꾸고, {가,나}조와 {다,라}조의 자리 교환은 무엇을 바꾸니?”라는 질문에 따라 설명이 달라집니다. 식을 보고 나누기만 따라 한 결과와, 중복된 배열을 말로 설명한 결과도 구분해 두어야 합니다.

비슷한 해결법을 가져오기 전 구조를 비교합니다

이 주제에서 과외 상담 때 확인할 핵심은 ‘조합을 썼는가’가 아니라 이전 풀이가 현재 조건에 맞는가입니다. 예전에 6명을 주장·기록·발표 역할이 있는 세 쌍으로 배정했다면 세 조는 역할로 구별됩니다. 그 문제에서 6C2×4C2×2C2를 사용한 것은 조의 순서가 실제 역할을 나타내므로 중복이 아닐 수 있습니다. 그러나 이름 없는 세 쌍으로 나누는 현재 문제에 같은 식을 그대로 쓰면 3!의 중복이 생깁니다.

풀이를 가져오기 전에는 ‘대상이 서로 다른가’, ‘묶음 안의 순서는 의미가 있는가’, ‘묶음끼리의 순서는 의미가 있는가’, ‘묶음 크기가 모두 같은가’를 문장으로 표시하게 할 수 있습니다. 네 질문의 답이 이전 문제와 모두 같을 때만 식의 구조도 우선 적용 후보가 됩니다. 한 항이 비슷해 보여도 조의 이름 유무가 다르면 나누는 항이 달라집니다.

새 문제로 식 세우기 능력을 따로 확인합니다

도움을 준 뒤에는 숫자만 바꾼 문제보다 구조 판단을 요구하는 문제를 제시할 수 있습니다. 예를 들어 서로 다른 8명을 이름 없는 2명짜리 조 4개로 나누는 경우를 학생 스스로 식으로 세워 보게 합니다. 조의 내부 순서와 네 조의 배열 순서를 각각 어떻게 처리할지 말로 설명한 다음 8!÷(2!⁴×4!)이라는 식을 세우는지가 확인 대상입니다. 계산하면 40320÷384=105입니다.

여기서 교사가 2!⁴나 4!를 미리 제시하면 식 세우기 확인이 아니라 제시된 항의 계산 확인이 됩니다. 학생이 8C2×6C2×4C2×2C2를 세웠다면 그것은 유효한 출발점이며, 네 조가 이름 없다는 이유를 들어 4!로 나누는지를 추가로 봅니다. 3명·3명·2명처럼 조의 크기가 달라지는 문제는 새로운 판단이 더해지는 확장 활동으로 분리하는 것이 좋습니다.

수곡동에서 상담할 때 자료를 이렇게 연결합니다

수곡초등학교, 수곡중학교, 충북고등학교처럼 현재 학습 단계가 다른 학생이라도 상담에서는 학교명으로 난도를 미리 정하기보다 실제 풀이를 확인하는 편이 낫습니다. 최근에 푼 경우의 수 문제에서 정답과 오답이 함께 남아 있는 풀이 2~3개, 사용 중인 교재의 해당 단원 목차, 학생이 막힌 부분을 표시한 메모를 한곳에 준비하면 좋습니다. 특히 답만 적힌 문제보다 ‘왜 나누었는지’가 적힌 풀이가 판단에 도움이 됩니다.

상담에서는 한 문제를 읽을 때 조의 이름을 표시하는지, 식을 세운 뒤 중복의 근거를 설명하는지, 계산 실수와 구조 판단 실수를 구별하는지를 물어볼 수 있습니다. 그 결과에 따라 수업에서는 조건에 밑줄을 긋는 표시를 유지할지, 조의 교환을 실제 예로 써 보게 할지, 짧은 서술형 과제로 근거를 남기게 할지를 정할 수 있습니다. 과제도 단순 반복 계산인지 구조 비교가 필요한 문제인지에 따라 양과 형태를 합의하는 것이 좋습니다.

다음 상담에서는 최근 분할 문제 한 장을 가져와, 학생이 각 나눗셈 항을 ‘조 안의 순서’와 ‘조 사이의 순서’ 중 무엇 때문에 썼는지 직접 표시해 보도록 정하면 됩니다.

준비물은 최근 경우의 수 풀이 2~3개, 해당 교재의 분할 문제 페이지, 학생이 예전 풀이를 참고했던 문제 한 개면 충분합니다. 상담에서는 이름 없는 같은 크기 조 문제와 역할이 있는 조 문제를 각각 한 개씩 놓고, 두 문제에서 유지할 풀이 단계와 바꿔야 할 나눗셈 항을 학생이 설명할 수 있는지 확인합니다. 이후에는 조건 표시를 먼저 하는 수업 방식, 구조 비교형 과제의 비중, 풀이 근거에 대한 피드백 방식을 정할 수 있습니다.