문장 속 관계를 식으로 옮기는 첫 단계
일차함수 응용 문제에서 가장 오래 멈추는 순간은 계산을 시작한 뒤가 아니라, 아직 식을 만들지 못한 처음입니다. 문제에 숫자가 많이 나오고 상황 설명이 길어지면 학생은 모든 수를 식에 넣어야 한다고 생각하기 쉽습니다. 그러나 첫 식은 숫자를 모아 만드는 것이 아니라 두 양이 어떻게 변하는지를 문장으로 정리한 뒤 세워야 합니다.
성화동중2수학과외 수업에서도 일차함수 문제를 풀 때 곧바로 y=ax+b에 값을 대입하지 않습니다. 먼저 무엇이 기준이 되는 양인지, x가 1만큼 변할 때 y가 얼마나 변하는지, 처음부터 이미 정해져 있는 값이 있는지를 확인합니다. 이 세 가지가 정리되면 문제의 숫자가 식에서 어떤 역할을 하는지 자연스럽게 구분할 수 있습니다.
첫 식을 만들기 전에 양을 두 종류로 나누기
일차함수 활용 문제에는 대개 두 양이 등장합니다. 시간과 거리, 물건의 개수와 가격, 물의 양과 높이처럼 하나가 변하면 다른 하나도 달라지는 관계입니다. 이때 먼저 변하는 양을 x, 그 결과로 달라지는 양을 y라고 정해 봅니다.
예를 들어 기본요금이 2,000원이고 한 시간 이용할 때마다 1,500원이 추가되는 상황이라면 시간은 x, 전체 요금은 y로 둘 수 있습니다. 시간에 따라 추가되는 금액은 1,500x이고, 이용하지 않아도 내야 하는 기본요금은 2,000원입니다. 따라서 식은 y=1500x+2000이 됩니다. 중요한 것은 숫자를 외워 넣은 것이 아니라 ‘시간에 따른 추가 금액’과 ‘처음부터 있는 금액’을 분리했다는 점입니다.
문제의 문장을 변화량과 시작값으로 바꾸기
일차함수의 첫 식을 만들 때는 문장을 다음처럼 바꾸어 읽으면 도움이 됩니다.
- 일정하게 늘거나 줄어드는 부분은 x에 곱해지는 값입니다.
- 처음부터 주어진 값이나 출발할 때의 값은 상수항입니다.
- 전체 결과를 나타내는 양은 y로 둡니다.
‘매분 4L씩 물이 들어오고 처음에는 10L가 있었다’는 문장은 ‘분당 변화량이 4이고 시작값이 10’이라는 뜻입니다. 분을 x, 물의 양을 y로 두면 y=4x+10이 됩니다. 반대로 ‘매분 4L씩 빠져나간다’면 양이 감소하므로 y=-4x+10으로 나타냅니다. 증가와 감소를 말하는 동사의 방향을 놓치면 기울기의 부호가 달라지므로, 식을 쓰기 전에 ‘늘어나는가, 줄어드는가’를 짧게 표시하는 습관이 필요합니다.
처음부터 있는 값과 변화한 값을 혼동하지 않기
학생들이 자주 만드는 오류는 문제에 나온 큰 수를 모두 기울기로 생각하는 것입니다. 하지만 기울기는 x가 1만큼 변할 때 y가 얼마나 변하는지를 나타냅니다. 처음의 높이, 기본요금, 출발 위치처럼 x가 0일 때 이미 존재하는 값은 절편에 해당합니다.
예를 들어 어느 택시의 요금이 기본 4,800원에 1km마다 1,000원씩 더해진다면 거리 x와 요금 y의 관계는 y=1000x+4800입니다. 4,800원은 이동 거리와 관계없이 처음 부과되는 금액이고, 1,000원은 거리가 1km 늘 때마다 추가되는 금액입니다. 두 값을 뒤집어 y=4800x+1000으로 쓰면 계산은 가능해 보여도 문제 상황과 맞지 않습니다.
표를 한 줄 만들어 식의 방향 확인하기
문장이 복잡하게 느껴질 때는 x와 y의 표를 한 줄만 작성해도 됩니다. 위의 택시 요금에서 거리가 0km이면 요금은 4,800원이고, 1km이면 5,800원입니다. x가 1 증가할 때 y가 1,000씩 증가하므로 기울기는 1,000, x가 0일 때의 y는 4,800이라는 사실을 확인할 수 있습니다.
표를 만드는 목적은 값을 많이 계산하는 데 있지 않습니다. x와 y의 순서를 헷갈렸는지, 시작값을 잘못 읽었는지, 증가와 감소의 방향을 반대로 적었는지를 점검하는 데 있습니다. 표의 첫 행을 만들기 어렵다면 문제에서 ‘처음’이라고 표현한 순간을 찾아 x=0인 상황으로 해석해 보세요.
두 조건이 주어졌을 때 바로 공식에 대입하지 않기
어떤 문제는 시작값을 직접 알려 주지 않고 두 점이나 두 상황을 제시합니다. 예를 들어 2시간일 때 거리가 14km, 5시간일 때 거리가 32km라면 두 점은 (2, 14), (5, 32)입니다. 먼저 시간 3시간이 늘어나는 동안 거리가 18km 늘었으므로 시간당 변화량은 6km입니다. 따라서 기울기는 6입니다.
이제 식을 y=6x+b로 두고 (2, 14)를 대입하면 14=12+b이므로 b=2입니다. 관계식은 y=6x+2가 됩니다. 여기서 중요한 순서는 두 점에서 변화량을 찾고, 그다음 시작값을 구하는 것입니다. 두 점의 좌표를 확인하지 않고 숫자 14와 32를 곧바로 식의 계수로 사용하면 식의 의미가 사라집니다.
응용 문제에서 첫 식이 막히는 이유
기본 문제에서는 ‘기울기는 3, 절편은 5’처럼 사용할 정보가 직접 표시되어 있습니다. 응용 문제에서는 변화량과 시작값이 문장 속에 흩어져 있고, 어떤 양을 x로 둘지도 학생이 정해야 합니다. 따라서 계산 능력만의 문제가 아니라 필요한 조건을 골라 관계로 바꾸는 과정의 문제입니다.
또한 문제에 등장하는 모든 수가 식에 사용되는 것은 아닙니다. 특정 시점의 값은 만든 식을 확인하는 조건일 수 있고, 단위나 범위를 알려 주는 정보일 수도 있습니다. 예를 들어 ‘단, 사용 시간은 1시간 이상 6시간 이하이다’라는 조건은 식의 계수를 정하는 값이 아니라 x의 범위를 정하는 내용입니다. 이를 식에 더하거나 곱하려고 하면 불필요한 오류가 생깁니다.
오늘 할 수 있는 풀이 연습
문제 세 개를 골라 계산하기 전에 다음 네 문장을 먼저 적어 보세요.
- x는 무엇을 나타내는가?
- y는 무엇을 나타내는가?
- x가 1 증가할 때 y는 얼마나 변하는가?
- x가 0일 때 y의 값은 얼마인가?
네 번째 값이 문제에 직접 없으면 두 조건을 이용해 찾아야 합니다. 이후 ‘변화한 부분 + 처음 값’의 형태로 식을 작성하고, 문제에 주어진 한 상황을 대입해 맞는지 확인합니다. 정답이 나왔더라도 단위를 함께 살펴보면 계수의 의미가 적절한지 판단할 수 있습니다. 시간당 거리라면 기울기의 단위는 거리/시간이 되어야 하고, 개수당 가격이라면 가격/개수의 의미가 되어야 합니다.
성화동중2수학과외에서 강조하는 것도 식을 빠르게 쓰는 요령보다 문제의 관계를 먼저 말로 표현하는 습관입니다. ‘무엇이 변하고, 얼마나 변하며, 처음에는 얼마였는가’를 분리하면 일차함수 응용 문제의 첫 줄이 훨씬 분명해집니다. 식을 세운 뒤에는 계산으로 넘어가기 전에 그 식이 실제 상황의 변화 방향과 단위를 설명하고 있는지 확인해 보세요.