절댓값이 포함된 문제를 풀 때 많은 학생이 식 안의 값이 양수인지 음수인지 확인하기 전에 무조건 두 경우로 나눕니다. 그러나 경우를 나누는 핵심은 절댓값 기호의 개수가 아니라, 절댓값 안의 식이 0이 되는 기준을 찾는 데 있습니다. 선학동고1수학과외에서는 절댓값을 단순히 기호를 없애는 계산으로 다루기보다, 식의 부호가 바뀌는 지점을 먼저 판단하도록 연습합니다.
절댓값은 안쪽 식의 부호에 따라 달라진다
절댓값의 기본 의미는 어떤 수를 원점에서 떨어진 거리로 나타내는 것입니다. 따라서 실수 x에 대해 |x|는 x가 0 이상이면 x이고, 0보다 작으면 -x입니다. 중요한 것은 절댓값 바깥의 x가 아니라 절댓값 안에 들어 있는 전체 식입니다.
예를 들어 |2x-6|이 있다면 2x-6의 부호를 확인해야 합니다. 이 식이 0이 되는 x는 3이므로 x가 3보다 작을 때와 3보다 크거나 같을 때 식의 형태가 달라집니다. 이때 기준은 절댓값의 숫자나 계수가 아니라 안쪽 식을 0으로 만드는 값입니다.
학생이 자주 하는 실수는 |x-3|을 보고 x가 양수인지 음수인지 나누는 것입니다. 하지만 x가 양수여도 x-3은 음수일 수 있습니다. 반대로 x가 음수라고 해서 절댓값 안의 식도 항상 음수인 것은 아닙니다. 경우를 나눌 때는 반드시 절댓값 내부의 식을 별도로 놓고 부호를 판단해야 합니다.
경우를 나누기 전 먼저 확인할 것
문제를 보자마자 식을 전개하거나 계산하기보다 다음 세 가지를 살펴야 합니다. 첫째, 절댓값 안에 어떤 식이 들어 있는지 괄호 단위로 확인합니다. 둘째, 그 식이 0이 되는 값을 구합니다. 셋째, 문제에서 주어진 x의 범위와 그 기준값을 비교합니다.
|x+2|이라면 기준값은 -2입니다. x가 -2 이상이면 x+2를 그대로 사용할 수 있고, x가 -2보다 작으면 -(x+2)로 바꾸어야 합니다. |3-x|처럼 x의 계수가 음수인 경우에도 안쪽 식 3-x가 0이 되는 x=3을 먼저 찾습니다. x가 3 이하일 때는 3-x가 0 이상이고, x가 3보다 클 때는 3-x가 음수가 됩니다.
기준값을 구한 뒤에는 수직선에 표시하면 판단이 쉬워집니다. 기준값 하나를 중심으로 왼쪽과 오른쪽의 부호가 달라지는지 확인하고, 기준값 자체가 어느 쪽 조건에 포함되는지도 살펴야 합니다. 0 이상에는 0이 포함되지만 0보다 작다는 조건에는 0이 포함되지 않습니다. 이 경계를 잘못 표시하면 최종 해의 범위도 달라질 수 있습니다.
절댓값이 여러 개일 때는 기준점을 모두 찾는다
|x-1|+|x+3|처럼 절댓값이 두 개라면 하나의 기준만 세우고 끝내면 안 됩니다. 첫 번째 절댓값 안의 식이 0이 되는 값은 1이고, 두 번째 절댓값 안의 식이 0이 되는 값은 -3입니다. 따라서 수직선에 -3과 1을 표시하여 구간을 나눕니다.
이때 경우는 x<-3, -3≤x<1, x≥1처럼 세 구간으로 나뉩니다. 각 구간에서 두 절댓값 안의 식이 각각 양수인지 음수인지 확인한 뒤, 절댓값을 벗겨 식을 정리합니다. 기준점이 두 개이면 단순히 절댓값마다 두 경우씩 만들어 네 가지를 계산하는 것이 아니라, 기준점의 위치를 정렬하여 실제로 필요한 구간을 만드는 것이 효율적입니다.
절댓값이 세 개 이상이라면 기준값을 모두 구한 다음 작은 수부터 순서대로 배열합니다. 기준점 사이의 구간에서는 각 안쪽 식의 부호가 일정하므로 한 번 정한 형태를 유지할 수 있습니다. 이렇게 하면 불필요한 경우의 수를 줄이고, 같은 조건을 중복해서 계산하는 실수도 예방할 수 있습니다.
방정식에서는 양변의 구조도 함께 본다
절댓값 방정식은 경우를 나누는 방식 외에도 양변의 범위를 먼저 확인할 수 있습니다. 예를 들어 |x-2|=-1과 같이 절댓값이 음수와 같아지는 식은 어떤 x에서도 성립하지 않습니다. 절댓값은 항상 0 이상이므로 바로 해가 없다고 판단할 수 있습니다.
|x-2|=5처럼 절댓값 하나가 양의 상수와 같다면 x-2=5 또는 x-2=-5로 나눌 수 있습니다. 이 경우는 절댓값 안의 식이 양수인 구간과 음수인 구간을 처음부터 길게 설정하지 않아도 됩니다. 다만 양변에 문자가 있거나 다른 절댓값이 함께 있다면, 먼저 가능한 범위를 확인한 뒤 필요한 기준점을 정해야 합니다.
절댓값이 포함된 이차방정식이나 부등식에서는 각각의 경우에서 얻은 해가 해당 구간의 조건을 만족하는지 반드시 검토해야 합니다. 예를 들어 x<3인 경우를 가정하고 해를 구했는데 결과가 x=5라면 계산식 자체가 맞더라도 그 경우에는 해당하지 않습니다. 경우를 나눈 뒤의 조건은 계산 과정에서 임시로 붙이는 표시가 아니라, 해를 채택할지 결정하는 필수 조건입니다.
부등식에서는 해의 범위를 수직선으로 확인한다
절댓값 부등식은 거리의 의미로 접근하면 경우를 나누는 이유가 분명해집니다. |x-a|<b에서 b가 양수라면 x가 a로부터 b보다 가까운 범위에 있다는 뜻입니다. 반대로 |x-a|>b라면 a를 중심으로 일정 거리보다 바깥에 있는 두 구간을 의미합니다.
그러나 |2x-4|≤6처럼 절댓값 안에 x가 아닌 일차식이 들어 있으면 먼저 그 식의 범위를 정리할 수도 있습니다. -6≤2x-4≤6으로 바꾼 뒤 연립부등식을 해결하면 됩니다. 이 방법이 항상 경우 나누기보다 우월한 것은 아니지만, 절댓값의 개수가 적고 양변이 비교적 단순할 때 계산을 줄여 줍니다.
반면 |x-1|+|x+2|≤4처럼 절댓값이 여러 개 더해져 있으면 기준점 -2와 1을 이용해 구간별로 정리하는 방법이 안정적입니다. 어떤 풀이를 선택할지는 식의 구조에 따라 달라지며, 모든 절댓값 문제를 하나의 공식으로 처리하려고 하면 오히려 조건을 놓칠 수 있습니다.
틀린 풀이에서 먼저 찾아야 할 부분
절댓값 문제를 틀렸을 때 결과만 보고 계산 실수라고 판단하지 않는 것이 좋습니다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 기준값을 잘못 구했는지, 기준값의 순서를 잘못 배열했는지, 각 구간에서 부호를 반대로 판단했는지 확인해야 합니다. 또한 마지막에 얻은 해를 처음 세운 구간 조건과 비교했는지도 살펴야 합니다.
오답을 다시 풀 때는 정답 풀이를 그대로 옮기기보다 수직선을 먼저 그리고, 각 기준점 옆에 안쪽 식의 부호를 직접 적어 보는 것이 효과적입니다. 그다음 절댓값을 벗긴 식을 구간별로 한 줄씩 작성합니다. 중간 과정을 생략하면 부호가 바뀌는 지점을 확인하기 어려우므로, 처음에는 계산 속도보다 조건과 식의 연결을 분명하게 남기는 것이 중요합니다.
경우를 나누는 기준을 습관으로 만들기
절댓값 문제를 만났을 때는 ‘몇 가지 경우로 나눌까?’보다 ‘어느 식의 부호가 바뀌는가?’를 먼저 질문해야 합니다. 절댓값 안의 식을 찾고, 그 식을 0으로 만드는 기준값을 표시한 뒤, 구간별 부호를 확인하는 순서를 반복하면 식의 모양이 바뀌어도 대응할 수 있습니다.
선학동 고1수학과외에서는 학생이 답만 맞혔는지보다 왜 그 기준에서 경우를 나누었는지 설명할 수 있는지를 확인합니다. 기준값, 구간 조건, 절댓값을 벗긴 식, 최종 해의 검토가 연결되어야 절댓값이 포함된 방정식과 부등식에서 안정적으로 풀이를 완성할 수 있습니다.