로그 문제에서 먼저 확인해야 할 것, 정의되는 범위
로그 문제를 풀 때 식을 보고 곧바로 계산부터 시작하는 학생이 많습니다. 밑을 바꾸거나 로그의 성질을 적용하면 답을 구할 수 있을 것처럼 보이지만, 그 식이 애초에 정의되는지 확인하지 않으면 풀이 전체가 성립하지 않을 수 있습니다. 석남동고2수학과외에서 로그 문제를 다룰 때도 계산 속도보다 먼저 확인하는 부분이 바로 로그가 존재할 수 있는 조건입니다.
로그는 아무 수나 넣을 수 있는 식이 아니다
로그의 정의를 생각하면 logab는 ax=b를 만족하는 실수 x를 뜻합니다. 이때 밑 a는 양수이면서 1이 아니어야 하고, 진수 b는 양수여야 합니다.
따라서 기본 조건은 다음과 같습니다.
- 밑의 조건: a>0, a≠1
- 진수의 조건: b>0
특히 문제에 문자가 포함된 로그가 있다면 진수 조건이 부등식으로 바뀝니다. 예를 들어 log(x-2)가 있다면 x-2>0이므로 x>2입니다. log(3-x)라면 3-x>0이므로 x<3입니다. 식을 변형하기 전에 이 범위를 확인해야 이후의 등식이 실제로 가능한지 판단할 수 있습니다.
정의역을 확인하지 않으면 생기는 오류
로그의 성질을 이용해 식을 간단히 만드는 과정에서 가장 흔한 실수는 진수가 0이나 음수가 되는 경우를 놓치는 것입니다. 예를 들어 log A+log B=log(AB)를 사용할 때는 처음부터 A>0, B>0이어야 합니다. 단순히 곱한 결과인 AB>0만 확인하면 안 됩니다. 두 수가 모두 음수인 경우에도 곱은 양수가 되지만, 음수는 로그의 진수가 될 수 없기 때문입니다.
또 log A=log B에서 곧바로 A=B라고 정리하려면 두 진수가 모두 로그에서 허용되는 양수 범위에 있어야 합니다. 정의되지 않는 값을 포함한 식을 놓고 양변의 로그를 비교하는 것은 올바른 풀이가 아닙니다.
로그 계산은 정의되는 범위를 확인한 뒤에 시작해야 합니다.
방정식에서는 조건이 해를 걸러내는 역할을 한다
로그 방정식을 풀 때 부등식 조건은 단순한 사전 점검이 아니라 최종 해를 판단하는 기준이 됩니다. 예를 들어 어떤 계산을 통해 후보값이 나왔더라도, 그 값을 원래 로그식의 진수에 대입했을 때 양수가 되지 않으면 답으로 인정할 수 없습니다.
이때는 풀이 첫 줄에 원래 식을 보고 진수 조건을 적어두는 습관이 유용합니다. 로그가 하나라면 해당 진수에 대해 부등식을 세우고, 로그가 여러 개라면 각각의 진수가 모두 양수라는 조건을 동시에 적습니다. 이후 방정식을 풀어 후보를 구한 뒤 처음 세운 조건과 비교하면 불필요한 해를 쉽게 제외할 수 있습니다.
예를 들어 log(x-1)+log(x+2)가 포함된 식이라면 x-1>0, x+2>0을 모두 만족해야 합니다. 두 조건을 합치면 x>1이 됩니다. 계산 과정에서 x=-3 같은 값이 등장하더라도 이 범위에 포함되지 않으므로 원래 식의 해가 될 수 없습니다.
부등식에서는 밑의 조건까지 함께 봐야 한다
로그 부등식은 진수의 범위뿐 아니라 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지에 따라 대소관계가 달라집니다. 밑이 1보다 크면 로그함수는 증가하므로 진수의 대소관계가 그대로 유지됩니다. 반면 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 로그함수는 감소하므로 부등호 방향이 바뀝니다.
예를 들어 logax>logay를 비교할 때 a>1이면 x>y이고, 0<a<1이면 x<y입니다. 이때도 x>0, y>0이 먼저 보장되어야 합니다. 밑의 범위를 확인하지 않고 부등호만 옮기면 계산이 맞아 보여도 결론이 틀릴 수 있습니다.
문제를 읽을 때의 확인 순서
석남동 고2수학과외에서 로그 문제를 연습할 때는 다음 순서를 풀이의 앞부분에 고정해두면 좋습니다.
- 로그의 밑이 양수인지, 1이 아닌지 확인합니다.
- 각 로그의 진수를 찾아 0보다 크다는 조건을 세웁니다.
- 여러 조건을 동시에 만족하는 공통 범위를 구합니다.
- 로그의 성질이나 밑의 변환을 적용합니다.
- 계산으로 얻은 후보를 원래 조건과 대입하여 확인합니다.
이 순서는 문제를 느리게 만드는 절차가 아닙니다. 오히려 중간 계산을 잘못된 범위에서 진행하는 일을 줄여 줍니다. 특히 고2 로그 문제는 하나의 식 안에 여러 로그가 들어가거나 문자식이 진수로 제시되는 경우가 있어, 처음 범위를 놓치면 마지막에 답을 다시 고쳐야 하는 상황이 자주 생깁니다.
정의역 확인을 연습하는 방법
문제를 많이 풀기 전에 로그식만 보고 조건을 쓰는 짧은 연습을 해볼 수 있습니다. log(x+4), log(2x-5), log((x-1)/(x+2))처럼 진수의 형태가 다른 식을 보고, 각각 어떤 부등식을 세워야 하는지 적어보는 방식입니다. 마지막 식처럼 분수 형태라면 분자가 양수인지 분모가 양수인지로 나누어 생각하지 말고, 분수 전체가 0보다 커야 한다는 조건을 정확히 세워야 합니다.
또 풀이가 끝난 뒤에는 답만 확인하지 말고 “이 값에서 원래 로그의 진수가 모두 양수인가?”를 직접 대입해 보세요. 해설에 나온 계산을 이해했더라도 정의되는 범위를 스스로 점검하지 않았다면 같은 오류가 반복될 수 있습니다. 로그 문제에서 범위 확인은 부가적인 검사가 아니라 식의 의미를 유지하는 첫 번째 조건입니다.
로그를 계산 공식의 묶음으로만 외우면 조건이 빠지기 쉽습니다. 어떤 수를 지수로 나타낼 수 있는지, 그 과정에서 밑과 진수가 어떤 범위를 가져야 하는지를 함께 이해해야 식의 변형도 안전해집니다. 석남동고2수학과외에서도 문제를 푸는 첫 순간에 정의되는 범위를 적는 습관을 만들면 방정식과 부등식에서 발생하는 많은 실수를 줄일 수 있습니다.