거리·속력·시간 문제를 두 식으로 바꾸는 연습
거리, 속력, 시간 문제는 공식을 알고 있어도 연립방정식으로 연결하는 순간 막히기 쉽습니다. 이유는 계산법보다 먼저 문장 속 상황을 두 개의 관계로 나누어야 하기 때문입니다. 백석동중2수학과외에서 이 유형을 다룰 때도 곧바로 미지수를 정하지 않고, 각 값이 무엇을 뜻하는지부터 확인하는 과정이 중요합니다.
먼저 세 가지 양을 표로 정리하기
거리·속력·시간 문제를 읽으면 문장 전체를 한 번에 식으로 만들려고 하지 말고, 이동 상황을 표로 옮겨 보세요.
구분
거리
속력
시간
처음 상황
알 수 있는 값 또는 문자
알 수 있는 값 또는 문자
거리÷속력
나중 상황
알 수 있는 값 또는 문자
알 수 있는 값 또는 문자
거리÷속력
핵심 관계는 항상 거리＝속력×시간입니다. 다만 문제에 따라 거리를 직접 비교하거나, 이동 시간의 차이를 비교하거나, 두 사람이 만나는 지점을 기준으로 거리를 나누어야 합니다. 따라서 공식 하나를 반복해서 쓰는 것보다 각 상황의 세 값을 따로 적는 습관이 효과적입니다.
미지수는 두 상황을 연결하기 쉬운 값으로 정하기
연립방정식에서는 미지수 두 개가 무엇을 의미하는지가 풀이의 방향을 결정합니다. 속력 두 개를 비교하는 문제라면 한 사람의 속력을 x, 다른 사람의 속력을 y로 둘 수 있습니다. 반대로 이동 시간이 문제의 핵심이라면 시간을 문자로 두는 편이 식을 간단하게 만들 수 있습니다.
예를 들어 두 사람이 같은 길을 서로 반대 방향에서 출발해 만났고, 한 사람의 속력이 다른 사람보다 시속 2km 빠르다고 해 보겠습니다. 이때 두 속력을 각각 문자로 두면 ‘속력의 차’라는 조건을 바로 식으로 나타낼 수 있습니다. 만나는 데 걸린 시간이 같다는 사실을 이용하면 두 사람이 이동한 거리의 합과 전체 거리 사이의 관계도 만들 수 있습니다.
중요한 점은 문장에 등장한 숫자를 순서대로 식에 넣는 것이 아닙니다. 무엇을 알고 있고, 무엇을 비교하며, 두 상황에서 변하지 않는 것이 무엇인지를 찾아야 합니다.
문장에서 두 개의 관계를 찾아내는 방법
연립방정식이 필요한 문제에는 대체로 두 가지 조건이 들어 있습니다. 하나는 속력, 거리, 시간 사이의 계산 관계이고, 다른 하나는 문제에서 추가로 제시한 비교 조건입니다.
- 두 사람이 이동한 전체 거리가 정해져 있다.
- 한 사람의 속력이 다른 사람보다 몇 km 빠르다.
- 한 사람이 다른 사람보다 몇 분 먼저 도착한다.
- 같은 거리를 이동했지만 걸린 시간이 서로 다르다.
- 왕복하거나 중간에 속력이 바뀐다.
가령 같은 거리를 이동한 두 사람의 속력을 각각 x, y라 하고, 이동 시간이 각각 주어졌다면 거리 관계를 이용해 x×시간＝y×시간 형태의 식을 만들 수 있습니다. 여기에 ‘한 사람의 속력이 다른 사람보다 3km 빠르다’는 조건을 더하면 두 번째 식이 됩니다. 이렇게 만들어진 두 식이 같은 두 미지수를 포함할 때 연립방정식으로 해결할 수 있습니다.
분 단위와 시간 단위를 통일하기
이 유형에서 자주 생기는 오류는 단위를 섞는 것입니다. 속력이 시속으로 제시되었다면 시간도 시간 단위로 바꾸어야 합니다. 30분을 30으로 넣으면 안 되고, 30분은 0.5시간으로 바꾸어야 합니다. 반대로 분속을 사용하는 문제라면 거리와 시간을 분 단위에 맞추어야 합니다.
식 앞에 단위를 간단히 적어 두면 실수를 줄일 수 있습니다. 예를 들어 ‘속력: km/시, 시간: 시, 거리: km’라고 표시한 뒤 계산하세요. 답을 구한 후에도 속력에 시간을 곱했을 때 거리가 되는지 확인하면 단위 오류를 발견하기 쉽습니다.
연립방정식의 방법은 식의 모양을 보고 선택하기
두 식을 세웠다면 무조건 대입법부터 사용할 필요는 없습니다. 한 식에서 이미 x＝ 어떤 식의 형태가 만들어진다면 대입법이 편합니다. 두 식의 어떤 미지수 계수가 같거나 반대라면 가감법으로 한 문자를 없애는 것이 빠릅니다.
예를 들어 속력의 차를 나타낸 식이 y＝x＋2처럼 정리되어 있다면 다른 식에 대입하기 쉽습니다. 반면 거리 관계에서 두 속력에 같은 시간이 곱해져 계수가 비슷하게 나타난다면 식을 정리해 가감하는 편이 효율적입니다. 풀이법을 선택하는 기준은 외운 순서가 아니라 어느 방법이 계산 과정과 부호 실수를 줄이는가입니다.
계산보다 먼저 해의 의미 확인하기
연립방정식을 풀어 나온 값이 문제 상황에 맞는지도 반드시 확인해야 합니다. 속력은 음수가 될 수 없고, 시간은 0보다 커야 합니다. 또한 한 사람이 더 빠르다고 했는데 계산 결과가 반대로 나오면 미지수 설정이나 식의 방향을 다시 살펴봐야 합니다.
구한 두 값을 원래 조건에 넣어 검산해 보세요. 두 속력의 차가 문제에서 제시한 값과 같은지, 각 속력과 시간이 만든 거리가 전체 거리와 맞는지 확인하면 됩니다. 정답 숫자만 맞추는 것보다 이 검산 과정이 중요한 이유는, 연립방정식의 해가 계산 결과인 동시에 실제 이동 상황을 설명해야 하기 때문입니다.
변형 문제에서 시작점을 찾는 연습
기본 문제는 ‘두 속력의 차’와 ‘전체 거리’가 분명하게 제시됩니다. 그러나 응용 문제에서는 출발 시각이 다르거나, 한 사람이 중간에 쉬거나, 갈 때와 올 때 속력이 달라질 수 있습니다. 이때는 문제를 읽으며 이동 구간을 나누고 각 구간의 거리와 시간을 따로 기록해야 합니다.
처음 보는 문제를 만났다면 다음 순서로 접근해 보세요.
- 문제에 등장하는 사람, 물체, 이동 구간을 구분한다.
- 문자로 둘 값을 정하고 각각의 의미를 문장으로 적는다.
- 각 상황에서 거리＝속력×시간 관계를 표시한다.
- 비교, 합, 차, 도착 시간에 관한 조건을 두 번째 식으로 만든다.
- 해를 구한 뒤 거리와 시간의 단위 및 상황을 검산한다.
백석동중2수학과외에서는 학생이 식을 대신 받아 적기보다 문제의 문장을 직접 두 관계로 나누도록 연습하는 것이 좋습니다. 오늘은 짧은 기본 문제 하나를 표로 정리한 뒤, 같은 조건에서 숫자나 이동 순서가 바뀐 문제를 한 문제 더 풀어 보세요. 두 문제의 식이 어떻게 달라졌는지 비교하면 공식 암기에서 벗어나 상황을 식으로 번역하는 힘을 기를 수 있습니다.
거리·속력·시간 문제의 목표는 복잡한 계산을 빠르게 하는 데 있지 않습니다. 이동 상황을 정확히 해석하고, 서로 다른 두 조건을 같은 미지수로 표현한 뒤, 구한 해가 현실적인지 확인하는 데 있습니다. 이 과정을 반복하면 연립방정식 활용 문제에서도 어디서부터 시작해야 할지 판단하기 쉬워집니다.