숫자의 나열을 식으로 바꾸는 첫 판단
문제에 3, 7, 11, 15처럼 일정한 간격으로 수가 나열되어 있을 때, 많은 학생은 다음 항을 구하는 데는 성공하지만 그 규칙을 일반항으로 표현하는 순간 멈춥니다. 눈으로 보이는 변화와 특정 번째 항의 값을 계산하는 식은 서로 다른 역할을 하기 때문입니다. 등차수열은 항과 항 사이의 차이가 일정한 수열이며, 이 일정한 차이를 이용해 임의의 항을 나타내는 식을 만들어야 합니다.
방서동고2수학과외에서 이 내용을 다룰 때도 가장 먼저 확인하는 것은 공차를 정확히 찾았는지입니다. 연속한 두 항의 차가 항상 같다면 그 값을 공차라고 하며 보통 d로 나타냅니다. 첫째 항을 a1이라고 할 때 등차수열의 일반항은 다음과 같습니다.
an = a1 + (n - 1)d
이 식에서 n은 항의 번호이고, an은 n번째 항의 값입니다. 중요한 부분은 공차를 n이 아니라 n-1과 곱한다는 점입니다. 첫째 항에서 n번째 항으로 갈 때 실제로 공차를 더하는 횟수가 항의 번호보다 하나 적기 때문입니다.
왜 n이 아니라 n-1을 곱할까
첫째 항이 5이고 공차가 3인 수열을 생각해 보겠습니다. 항은 5, 8, 11, 14, …가 됩니다. 첫째 항은 공차를 한 번도 더하지 않았으므로 5입니다. 둘째 항은 3을 한 번 더해 5+3이 되고, 셋째 항은 3을 두 번 더해 5+2×3이 됩니다. 따라서 네 번째 항은 5+3×3으로 계산합니다.
이 관계를 항의 번호로 정리하면 첫째 항에서는 0번, 둘째 항에서는 1번, 셋째 항에서는 2번 공차를 더합니다. 그래서 n번째 항에서는 공차를 n-1번 더하게 됩니다. 일반항을 외우기 전에 이 이동 횟수를 직접 써보면 식의 형태를 바꾸어 잘못 쓰는 일이 줄어듭니다.
- 첫째 항: a1
- 둘째 항: a1 + d
- 셋째 항: a1 + 2d
- n번째 항: a1 + (n-1)d
주어진 수열에서 일반항을 만드는 순서
첫째, 나열된 항을 보고 연속한 항의 차를 구합니다. 예를 들어 12, 9, 6, 3, …에서는 공차가 -3입니다. 감소하는 수열이라고 해서 공차를 3으로 쓰면 안 됩니다. 뒤의 항에서 앞의 항을 빼야 하므로 9-12=-3, 6-9=-3이 됩니다.
둘째, 첫째 항과 공차를 일반항에 대입합니다. 위 수열에서는 a1=12, d=-3이므로
an = 12 + (n - 1)(-3) = 15 - 3n
으로 정리할 수 있습니다. 셋째, 만들어진 식에 n=1, 2, 3을 차례로 넣어 처음 주어진 항과 일치하는지 확인합니다. n=1을 넣었을 때 12가 나오고, n=2를 넣었을 때 9가 나와야 합니다. 이 검산은 부호 실수와 n-1을 빠뜨린 실수를 빠르게 찾아줍니다.
첫째 항이 직접 주어지지 않은 경우
문제에서 수열의 첫째 항 대신 특정 항 두 개를 주는 경우도 있습니다. 예를 들어 a4=10, a9=25라고 하면 두 항 사이에는 공차가 다섯 번 들어갑니다. 따라서
a9 - a4 = 5d
이므로 25-10=5d, d=3을 얻습니다. 그다음 a4=a1+3d에 대입하면 10=a1+9이므로 a1=1입니다. 따라서 일반항은 an=1+3(n-1), 즉 an=3n-2가 됩니다.
여기서 학생들이 자주 놓치는 것은 두 항의 번호 차이입니다. 네 번째 항에서 아홉 번째 항까지는 항의 개수가 다섯 개가 아니라, 공차를 더하는 횟수가 다섯 번입니다. 항의 값이 몇 칸 변했는지 확인하려면 큰 번호에서 작은 번호를 빼야 합니다.
규칙을 식으로 옮길 때 자주 생기는 오류
첫 번째 오류는 눈에 보이는 숫자만 보고 일반항을 정하는 것입니다. 4, 8, 12, 16을 보고 “4씩 커지므로 4n”이라고 쓰면 우연히 맞지만, 5, 9, 13, 17에서는 4n이 아니라 4n+1이 됩니다. 공차만으로는 식 전체가 결정되지 않고 첫째 항의 위치도 함께 반영해야 합니다.
두 번째 오류는 항의 번호와 항의 값을 혼동하는 것입니다. a3=11이라는 말은 세 번째 항의 값이 11이라는 뜻이지, 식에 3을 곱한다는 뜻이 아닙니다. 문제를 풀 때는 먼저 “몇 번째 항인가”와 “그 항의 값은 얼마인가”를 따로 적어 두면 대입 방향이 분명해집니다.
세 번째 오류는 등차수열의 규칙과 일반항을 구분하지 않는 것입니다. “앞의 항에 4를 더한다”는 것은 점화식 an+1=an+4로 나타낼 수 있지만, n번째 항을 바로 구하는 식은 an=a1+4(n-1)입니다. 앞 항을 이용해야 하는 설명인지, 원하는 번호의 항을 한 번에 계산해야 하는지에 따라 식의 형태가 달라집니다.
식이 맞는지 확인하는 방법
일반항을 구한 뒤에는 계산을 끝내지 말고 세 가지를 확인해 보세요. 먼저 n=1을 넣어 첫째 항이 나오는지 봅니다. 다음으로 n=2를 넣어 공차만큼 변한 둘째 항이 나오는지 확인합니다. 마지막으로 식에서 an+1-an을 계산했을 때 일정한 값이 나오는지 살펴봅니다. 이 차가 항상 d라면 등차수열의 조건을 만족합니다.
예를 들어 an=7-2n이라면 첫째 항은 5, 둘째 항은 3, 셋째 항은 1입니다. 또 an+1-an=[7-2(n+1)]-(7-2n)=-2이므로 공차도 -2입니다. 단순히 처음 두 항만 맞추는 것보다 공차까지 확인하면 식의 구조를 제대로 이해했는지 점검할 수 있습니다.
문제에서 표현을 바꾸어 읽는 연습
등차수열 문제는 숫자만 나열되지 않고 “첫째 주에 20개를 하고 매주 3개씩 늘린다”처럼 상황으로 제시되기도 합니다. 이때 첫째 주의 양을 a1, 매주 증가하는 양을 d, 주차를 n으로 대응시키면 같은 일반항을 만들 수 있습니다. 중요한 것은 실제 상황에서 첫 번째 기준이 무엇인지 정하는 일입니다. 처음부터 0주를 기준으로 세는지, 1주를 첫째 항으로 세는지에 따라 식의 상수가 달라질 수 있습니다.
방서동고2수학과외에서 식 세우기를 연습할 때는 답만 확인하기보다 “첫 기준값은 무엇이고, 한 번 이동할 때 얼마나 변하는가”를 문장으로 말하게 하는 것이 효과적입니다. 그 문장을 a1, d, n에 대응시키면 공식에 숫자를 무작정 끼워 넣는 습관에서 벗어날 수 있습니다.
마지막으로 새로운 수열을 만났을 때는 공차 확인, 첫째 항 확인, n-1의 의미 확인, 처음 몇 항 검산의 순서를 일정하게 유지해 보세요. 방서동고2수학과외를 통해 이 과정을 반복하면 복잡한 표현이 나와도 숫자의 변화와 항의 위치를 분리해 읽을 수 있고, 규칙을 식으로 바꾸는 과정도 훨씬 안정적으로 진행할 수 있습니다.