문장 속 두 값을 두 개의 미지수로 바꾸는 연습
중학교 2학년 연립방정식 활용 문제에서 가장 먼저 막히는 지점은 계산이 아닙니다. 문제에 등장하는 두 값을 무엇으로 정하고, 문장 속 관계를 어떻게 식으로 옮길지 결정하는 과정입니다. 계산 방법을 알고 있어도 미지수를 어색하게 정하면 식이 길어지고, 두 조건 중 하나를 빠뜨리기 쉽습니다.
마전동중2수학과외에서는 연립방정식을 풀기 전에 문제 속 수량의 관계를 말로 정리하는 연습부터 진행합니다. ‘무엇을 구해야 하는가’만 보는 것이 아니라, 어떤 값들이 서로 연결되어 있는지 확인해야 두 개의 미지수를 자연스럽게 정할 수 있습니다.
먼저 문제에서 변하는 값을 찾기
두 개의 미지수를 정할 때 처음부터 문장에 나온 모든 수를 문자로 두면 안 됩니다. 이미 알고 있는 수와 구해야 하는 수를 구분하고, 서로 독립적으로 변하는 값이 무엇인지 찾아야 합니다.
예를 들어 연필과 공책의 개수를 구하는 문제라면 연필의 개수를 x, 공책의 개수를 y로 둘 수 있습니다. 이때 가격이나 전체 개수는 두 값으로부터 계산되는 수량이므로 처음부터 별도의 문자로 만들 필요가 없습니다. 문자를 많이 정한다고 좋은 것이 아니라, 두 조건을 가장 간단하게 나타낼 수 있도록 정하는 것이 중요합니다.
문제를 읽은 뒤 다음 세 가지를 짧게 적어보면 좋습니다.
- 구하려는 값은 무엇인가?
- 서로 다른 두 종류나 두 상황은 무엇인가?
- 두 값 사이에 어떤 관계가 제시되어 있는가?
미지수의 뜻을 문장으로 먼저 쓰기
식부터 만들려고 하면 x와 y의 의미가 중간에 바뀌는 실수가 생깁니다. 따라서 풀이 첫 줄에 ‘x는 사과의 개수’, ‘y는 배의 개수’처럼 미지수의 뜻을 분명하게 적어야 합니다. 단위까지 함께 표시하면 더 안전합니다. 개수인지, 나이인지, 금액인지에 따라 뒤에 붙는 식의 의미가 달라지기 때문입니다.
예를 들어 두 사람의 나이를 구하는 문제에서 x를 현재 나이, y를 몇 년 뒤의 나이로 정하면 두 값은 독립적인 미지수가 아닐 수 있습니다. 같은 사람의 나이는 시간의 흐름에 따라 연결되므로 현재 나이와 몇 년 뒤 나이를 각각 문자로 두기보다, 두 사람의 현재 나이를 미지수로 정하는 편이 일반적으로 식을 만들기 쉽습니다.
이처럼 문자를 정할 때는 ‘서로 다른 대상’을 기준으로 삼을지, ‘서로 다른 시점’을 기준으로 삼을지 판단해야 합니다. 두 문자가 실제로 필요한 서로 다른 양을 나타내는지 확인하는 과정이 핵심입니다.
문장 속 관계를 두 종류로 나누기
미지수를 정한 다음에는 문제의 조건을 두 개의 관계로 나눕니다. 하나는 합이나 차에 관한 조건이고, 다른 하나는 가격, 거리, 나이 등의 전체 관계일 수 있습니다.
예를 들어 어떤 두 수의 합이 18이고, 큰 수가 작은 수보다 4 크다고 해봅시다. 작은 수를 x, 큰 수를 y로 정하면 첫 번째 조건은 x + y = 18이 됩니다. 두 번째 조건은 ‘큰 수가 작은 수보다 4 크다’이므로 y = x + 4로 표현할 수 있습니다. 여기서 ‘4가 크다’는 말을 그대로 숫자만 적어 x + y = 4로 만들면 두 수의 관계가 완전히 달라집니다.
문장을 식으로 바꿀 때는 주어와 비교 대상을 놓치지 않아야 합니다. ‘A가 B보다 3 많다’는 A를 기준으로 쓰면 A = B + 3이고, ‘A는 B의 3배’는 A = 3B입니다. ‘보다’, ‘의’, ‘합’, ‘차’, ‘전체’ 같은 표현에 밑줄을 그어 관계의 방향을 확인하면 식을 거꾸로 세우는 오류를 줄일 수 있습니다.
표를 이용하면 두 미지수의 역할이 선명해진다
금액이나 개수처럼 정보가 여러 종류로 나오는 문제는 표를 먼저 만드는 방법이 효과적입니다. 가로줄에 종류를 적고, 세로줄에 개수·한 개의 값·전체 값을 배치하면 각 항목이 어떤 식으로 연결되는지 눈에 보입니다.
예를 들어 입장권의 종류가 두 가지이고 전체 인원과 전체 금액이 주어졌다면, 각 종류의 개수를 x와 y로 둡니다. 전체 인원 조건에서는 x + y가 나오고, 금액 조건에서는 ‘첫 번째 가격×x’와 ‘두 번째 가격×y’를 더한 식이 나옵니다. 표 없이 문장을 바로 계산식으로 바꾸면 한 종류의 가격이나 개수를 빠뜨릴 가능성이 커집니다.
다만 표를 만들었다고 모든 칸을 문자로 채울 필요는 없습니다. 문제에서 이미 알려준 가격이나 전체 인원은 그대로 적고, 구하려는 두 수량만 x와 y로 표시해야 식이 복잡해지지 않습니다.
두 미지수를 정한 뒤 반드시 점검할 것
식이 완성되면 바로 가감법이나 대입법으로 넘어가기 전에 두 가지를 확인합니다. 첫째, 두 문자가 문제에서 구하는 대상과 일치하는지 살펴봅니다. 둘째, 각 식이 문제의 조건을 하나씩 정확히 반영하는지 말로 다시 읽어봅니다.
예를 들어 2x + 3y = 24라는 식을 세웠다면 ‘x의 값 두 개와 y의 값 세 개를 합한 것이 24’라는 의미인지, 실제 문제의 가격이나 개수 관계와 맞는지 확인해야 합니다. 식의 모양이 그럴듯해 보이는 것보다 단위와 문장의 의미가 맞는지가 더 중요합니다.
해를 구한 뒤에는 원래 조건에 대입해 검산합니다. 두 값의 합, 차, 전체 금액 중 어느 조건에서 오류가 생겼는지 바로 확인할 수 있습니다. 또한 개수나 나이처럼 음수가 될 수 없는 값인지, 문제에서 요구한 범위에 들어가는지도 살펴봐야 합니다.
오늘 해볼 미지수 설정 훈련
새로운 활용 문제를 한 번에 끝까지 풀기보다, 문제 세 개를 골라 미지수 설정만 먼저 연습해보세요. 각 문제마다 ‘x는 무엇’, ‘y는 무엇’을 쓰고, 조건 두 개를 식으로 옮긴 뒤 계산은 멈춥니다. 그다음 문장을 가리고 식만 보면서 원래 조건을 설명해보면 식의 의미를 제대로 이해했는지 확인할 수 있습니다.
처음에는 두 문자를 무엇으로 정할지 오래 걸려도 괜찮습니다. 중요한 것은 임의로 기호를 붙이는 것이 아니라, 두 값의 관계가 가장 간단히 드러나는 선택을 하는 것입니다. 마전동 중2수학과외 학습에서도 이런 과정을 반복하면 연립방정식 활용 문제를 보았을 때 계산법보다 먼저 필요한 정보를 골라내는 힘을 기를 수 있습니다.