관교동 중등수학과외

각의 두 배를 작도할 때는 선을 길게 그리는 것보다 같은 크기의 각을 어디에 이어 붙이는지 확인해야 합니다. 원래 각의 꼭짓점은 그대로 두고, 그 한 변을 경계로 같은 각을 바깥쪽에 더해야 두 배가 됩니다. 관교동 중등수학과외에서는 원의 반지름과 현의 길이가 각각 무엇을 보존하는지 설명하게 하고, 같은 작도만 연속해서 풀 때와 여러 유형을 섞어 풀 때 학생이 어떤 단서를 고르는지 비교할 수 있습니다.

처음 각의 두 변에서 같은 반지름을 확보한다

대표 문제에서는 예각 ∠ABC의 두 배를 컴퍼스와 눈금 없는 자로 작도합니다. ∠ABC의 크기를 θ라 하면 0°<θ<90°이므로 두 배의 각은 180°보다 작습니다. 꼭짓점은 B로 유지하고, 반직선 BA에서 BC를 거쳐 새 반직선 BR까지 이어지는 각을 2θ로 만드는 것이 목표입니다. 원래 각의 내부에 선을 하나 더 긋는 것만으로는 두 배의 각을 만들 수 없습니다.

B를 중심으로 적당한 반지름의 원을 그려 BA, BC와 만나는 점을 각각 P, Q로 정합니다. 원호만 그릴 때는 뒤에서 정할 교점 R까지 포함할 만큼 충분히 이어 그립니다. 그러면 BP=BQ입니다. 이제 컴퍼스의 간격을 현 PQ의 길이로 바꾼 뒤 Q를 중심으로 원호를 그립니다. 이 원호와 처음 원호가 만나는 점 중 P가 아닌 점을 R로 잡습니다. R은 직선 BC를 기준으로 P의 반대쪽에 있으며, 원래 각의 바깥쪽에 새 각을 이어 붙이는 위치입니다.

학생이 두 번째 원호의 반지름을 BP와 같게 잡았다면 ‘지금 옮겨야 할 길이는 원의 반지름인가, 두 변 사이의 현 PQ인가?’라고 묻습니다. R 대신 P를 다시 골랐다면 새 각을 붙이지 못한 상태이므로 P가 아닌 교점을 찾게 합니다. 마지막에 PR을 그었다면 꼭짓점이 B라는 조건을 다시 읽게 합니다. 원호마다 중심과 반지름이 다르므로 ‘간격을 무조건 유지한다’는 한 가지 규칙으로 처리하지 않도록 합니다.

원호의 교점과 현의 길이로 새 반직선을 결정한다

R을 정한 뒤 눈금 없는 자로 B와 R을 잇고 반직선 BR을 그립니다. 처음 원호의 반지름에 따라 BP=BQ=BR이고, Q를 중심으로 PQ만큼 벌린 컴퍼스를 사용했으므로 PQ=QR입니다. 따라서 ∠PBQ와 ∠QBR이 같아지고, BA에서 BC를 거쳐 BR까지의 각 ∠ABR은 θ+θ=2θ가 됩니다.

이유는 삼각형 PBQ와 삼각형 RBQ를 비교해 설명할 수 있습니다. BP=BR, PQ=RQ이고 BQ는 공통이므로 두 삼각형은 세 변의 길이가 각각 같아 합동입니다. 따라서 대응각 ∠PBQ=∠RBQ이며, ∠RBQ는 ∠QBR과 같은 각입니다. 같은 크기의 두 각을 BC의 양쪽에 겹치지 않게 붙였으므로 전체 각이 원래 각의 두 배입니다.

검산에서는 BP, BQ, BR이 처음 원호의 같은 반지름인지와 PQ=QR인지 따로 확인합니다. 두 번째 원호의 반지름은 PQ이지 반드시 BP인 것은 아닙니다. 이어 R이 직선 BC를 기준으로 P의 반대쪽에 있는지, 최종 반직선이 P가 아닌 B에서 시작하는지 살펴봅니다. 완성된 각이 커 보인다는 인상보다 두 부분의 각이 같은 이유와 배치를 함께 확인해야 합니다.

같은 유형을 몰아 풀 때와 섞어 볼 때의 선택 단서를 비교한다

작도 문제만 연속해서 풀면 학생은 ‘중심을 옮기고 원호를 그린다’는 순서를 빠르게 기억할 수 있습니다. 대신 각의 이등분, 선분의 수직이등분, 평행선 작도와 섞이면 무엇을 보존해야 하는지부터 선택해야 합니다. 각의 두 배 문제에서는 새로 복사할 대상이 각 자체이므로 원래 각의 두 변과 원호가 만나는 두 점, 그리고 그 사이의 현을 먼저 찾는 것이 단서입니다.

예를 들어 작도 문제를 몰아 풀 때는 ‘각 원호의 중심은 어디인가’, ‘두 번째 원호에 현 PQ의 길이를 사용했는가’, ‘마지막에 어떤 두 점을 연결하는가’를 순서대로 말하게 합니다. 섞어서 제시할 때는 문제마다 보존 대상이 달라집니다. 수직이등분은 양 끝점에서 같은 반지름으로 그린 원호의 교점을 연결하고, 각의 이등분은 꼭짓점에서 그린 원호와 두 변의 교점을 중심으로 같은 반지름의 원호를 그린 뒤, 각의 내부에서 생긴 교점과 원래 꼭짓점을 잇는다는 차이를 비교하게 합니다.

관교중학교라는 학교명만으로 난도나 시험 경향을 추정하기보다, 학생이 가져온 작도 문제와 풀이를 살펴 어떤 근거로 도구와 교점을 선택했는지 확인하는 편이 적절합니다. ‘이 문제에서 같은 길이로 맞춰야 하는 것은 무엇인가’와 ‘새 선이 지나야 하는 점은 어디인가’를 먼저 답하게 하면, 외운 순서와 조건을 이해한 풀이를 구별할 수 있습니다. 틀린 경우에는 완성된 그림만 고치기보다 어느 단계에서 중심, 반지름, 교점 중 하나를 잘못 선택했는지 되짚습니다.

각의 이름을 바꿔 다시 작도하고 결과를 확인한다

새 문제로 예각 ∠DEF의 두 배를 작도하게 합니다. 이번 꼭짓점은 E입니다. E를 중심으로 원을 그려 ED, EF와 만나는 점을 각각 S, T로 잡습니다. 원호를 사용한다면 뒤에서 정할 교점 U까지 포함하도록 충분히 이어 그립니다. 컴퍼스 간격을 ST로 바꾸어 T를 중심으로 원호를 그리고, 처음 원호와의 교점 중 S가 아닌 점을 U로 정합니다. 눈금 없는 자로 E와 U를 잇고 반직선 EU를 그립니다.

ES=ET=EU이고 ST=TU이므로 삼각형 SET와 삼각형 UET가 합동입니다. 따라서 ∠SET=∠TEU입니다. U는 직선 EF를 기준으로 S의 반대쪽에 있으므로 ED에서 EF를 거쳐 EU까지의 각 ∠DEU가 2∠DEF가 됩니다. 원래 각의 이름이 바뀌어도 가운데 글자가 꼭짓점이라는 점, 현의 길이를 옮긴다는 점, 최종 반직선이 원래 꼭짓점에서 시작한다는 점을 유지해야 합니다.

이 확인 문제를 맞혔다고 해서 모든 작도 단원을 이해했다고 단정할 수는 없습니다. 다음에는 이등분이나 수직이등분을 섞어 제시해 보존해야 할 길이와 연결해야 할 점을 스스로 구분하는지 확인해야 합니다. 제출할 때는 작도선이 필요한 만큼 표시되어 있는지, 원호의 중심과 교점이 드러나는지, 최종 반직선이 조건에 맞는지 교사의 추가 요구도 함께 살펴야 합니다.

각의 두 배 작도는 꼭짓점에서 같은 반지름의 원호를 그린 뒤, 두 변 사이의 현을 옆으로 한 번 더 옮겨 같은 각을 이어 붙이는 과정입니다. 원호마다 중심과 반지름을 구분하고, 원래 꼭짓점과 새 교점을 이은 반직선이 목표한 각을 만드는지 확인합니다.

상담에서는 먼저 학생이 원호를 그릴 때 원호마다 필요한 반지름을 구분하는지, 아니면 완성된 그림을 보고 비슷하게 따라 그리는지 물어봅니다. 또 작도 문제와 다른 도형 문제를 섞었을 때 어떤 단서를 보고 풀이 방법을 고르는지도 확인합니다. 반지름과 교점의 의미를 설명할 수 있다면 여러 유형을 섞어 선택 근거를 말하는 연습을 늘리고, 순서만 기억한다면 같은 유형을 짧게 나누어 중심·반지름·연결할 점을 단계별로 확인한 뒤 혼합 문제로 넘어가는 방식으로 수업을 조정할 수 있습니다.