충청남도 수학과외

그림그래프에서 막대나 그림의 개수는 세었는데 총인원을 틀리는 학생이 있습니다. 특히 반쪽 그림을 빼먹거나 그림 하나와 같은 값으로 계산하는 경우가 많습니다. 충청남도 수학과외를 알아볼 때에는 답만 다시 계산하는 수업인지, 그림이 뜻하는 인원과 정정된 문제 조건을 스스로 연결하도록 돕는지 살펴볼 필요가 있습니다.

먼저 그림 하나가 뜻하는 수를 읽습니다

그림그래프는 그림의 모양이 아니라 범례가 기준입니다. 예를 들어 사람 그림 1개가 4명을 뜻한다고 적혀 있다면, 사람 그림 3개는 12명입니다. 반쪽 그림은 사람 모양이 절반으로 보인다는 이유만으로 ‘반올림해서 1개’가 되는 것이 아니라, 범례의 절반인 2명을 뜻합니다.

문제를 풀기 전에는 범례에 밑줄을 긋고 ‘그림 1개=몇 명, 반쪽=몇 명’이라고 짧게 적어 보는 방법이 유용합니다. 이 표시가 있으면 그림을 세는 단계와 인원으로 바꾸는 단계를 분리할 수 있어, 계산만 급하게 하다가 반쪽을 놓치는 일을 줄일 수 있습니다.

예시 문제로 총인원을 계산해 봅니다

가령 그림그래프의 범례가 사람 그림 1개=4명이라고 하겠습니다. A 모둠에는 사람 그림 3개와 반쪽 그림 1개, B 모둠에는 사람 그림 2개와 반쪽 그림 1개가 표시되어 있다고 가정해 보겠습니다. 물음은 두 모둠의 총인원입니다.

학생이 그림을 모두 세어 3+1+2+1=7개라고 쓰고 7×4=28명이라고 했다면, 이 답은 반쪽 그림 두 개를 각각 온전한 한 개로 센 결과입니다. 반대로 반쪽 그림을 아예 세지 않아 (3+2)×4=20명이라고 한 경우도 있습니다. 두 오답은 모두 답이 다르지만, 첫 경우는 그림의 크기를 구별하지 못했는지, 둘째 경우는 반쪽도 자료에 포함된다는 점을 놓쳤는지 확인해야 합니다.

오답의 위치를 질문으로 구분합니다

‘A 모둠에서 4명이 아닌 그림은 무엇인가요?’, ‘그 반쪽은 범례의 몇 분의 몇인가요?’, ‘B 모둠의 그림 수를 사람 수로 바꾸기 전에 식으로 적어 볼까요?’처럼 질문하면 막힌 지점을 나눠 볼 수 있습니다. 문제를 읽을 때 범례를 지나쳤다면 읽기와 표시 습관을 먼저 다룹니다. 반쪽 그림이 2명이라는 연결을 설명하지 못한다면 개념 이해를, 3×4+2처럼 식을 세우지 못한다면 식 구성 과정을 확인합니다.

계산 결과만 틀렸다면 12+2 또는 8+2를 더하는 자리와 받아올림을 점검할 수 있습니다. 답을 24라고 맞혔어도 ‘그림이 6개니까 6×4’라고 설명했다면 근거는 맞지 않습니다. 반쪽 그림 두 개를 합쳐 온전한 그림 하나가 된다는 설명이 있을 때만 그 방식이 성립합니다. 반면 A 모둠을 14명, B 모둠을 10명으로 나누어 24명이라 한 풀이는 올바른 다른 방법입니다.

올바른 풀이와 원래 조건으로 하는 검산

A 모둠은 3×4+2=14명입니다. B 모둠은 2×4+2=10명입니다. 따라서 총인원은 14+10=24명입니다. 또는 온전한 그림 5개는 5×4=20명이고, 반쪽 그림 2개는 2+2=4명이므로 20+4=24명으로 계산해도 같습니다.

검산에서는 답 24를 단순히 다시 더하는 데서 멈추지 않습니다. A 모둠 14명은 4명씩인 온전한 그림 3개와 남은 2명, B 모둠 10명은 온전한 그림 2개와 남은 2명으로 다시 표현합니다. 그러면 문제에 제시한 그림의 개수와 반쪽의 위치가 모두 재현됩니다. 이 과정은 총합만 맞고 각 모둠의 값을 잘못 배분한 풀이를 찾아내는 데도 도움이 됩니다.

새 문제에서는 도움 없이 무엇을 확인하는지 정합니다

처음에는 범례에 표시를 하고 ‘반쪽은 2명’이라는 말을 함께 확인할 수 있습니다. 이후 재확인 문제에서는 범례와 여러 모둠의 그림만 제시하고, 학생이 스스로 온전한 그림과 반쪽을 구분해 각 모둠의 식을 세우게 합니다. 식을 미리 주면 식 세우기 능력은 확인할 수 없으므로, 풀이 뒤에 왜 그 식을 썼는지 말로 설명하게 하는 편이 낫습니다.

학생이 온전한 그림의 곱셈은 안정적으로 해낸다면 그 장점을 유지하고, 반쪽 그림만 별도 줄에 적는 틀을 사용할 수 있습니다. 반대로 반쪽 두 개를 합치는 방법을 잘 활용한다면 그 방법을 유지하되, 반쪽이 한 개만 있는 문제에서도 4의 절반을 계산할 수 있는지 따로 확인합니다. 범례가 4명일 때의 이해만으로 다른 기준의 모든 그림그래프를 판단하지 않고, 다음 문제에서 범례의 수가 달라졌을 때 확장 활동으로 다룹니다.

정정 자료를 기존 프린트에 연결하는 습관

학교에서 받은 정정 자료에 범례의 값, 반쪽 그림의 의미, 문제 문구처럼 풀이에 영향을 주는 내용이 바뀌어 있다면 새 종이를 따로 보관하는 것만으로는 부족할 수 있습니다. 기존 프린트의 해당 문제 번호 옆에 정정 날짜나 표시를 남기고, 바뀐 문장을 붙이거나 옮겨 적은 뒤 이전 풀이에 영향을 주는지 확인하는 순서가 필요합니다.

수업에서는 정정 자료와 기존 프린트를 나란히 두고 ‘어느 문제의 어느 조건이 바뀌었나’, ‘기존 답과 식 중 무엇을 고쳐야 하나’, ‘정정 뒤에도 답이 같은가’를 학생이 찾도록 할 수 있습니다. 범례가 1개=4명에서 다른 값으로 바뀌었다면 답 전체를 다시 계산해야 하지만, 단순 오탈자 정정으로 풀이 조건이 달라지지 않았다면 표시만 보완할 수 있습니다. 이후 과제에서는 정정 표시가 반영된 문제만 다시 풀게 할지, 정정 전후 풀이를 비교하게 할지 학생의 누락 원인에 따라 정할 수 있습니다.

다음 학습에서는 정정 자료와 기존 프린트를 함께 펼쳐, 범례 또는 문제 조건이 바뀐 한 문항을 학생이 직접 표시하고 새 식으로 다시 풀어 보게 합니다.

상담 때에는 반쪽 그림이 포함된 기존 프린트 한 장, 학교에서 받은 정정 자료, 학생이 작성한 풀이를 함께 준비하면 됩니다. 자료를 보며 정정 내용이 범례·그림·물음 중 어디에 해당하는지, 기존 풀이의 어느 줄을 수정해야 하는지, 학생이 정정 전후를 스스로 대조할 수 있는지 물어볼 수 있습니다. 그 결과에 따라 수업에서 범례 표시부터 다룰지, 정정 반영 후 재풀이 과제를 둘지, 풀이 옆에 수정 근거를 남기는 피드백 방식을 사용할지 합의할 수 있습니다.