불로동 수학과외

합성함수에서 식을 전개하거나 계산한 값은 맞는데 정의역을 빠뜨리는 학생, 루트·분모·로그가 보이면 막연히 제외값만 찾는 학생에게 필요한 내용입니다. 불로동 수학과외를 알아볼 때에도 문제 풀이만 빠르게 늘리기보다, 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수에 실제로 들어갈 수 있는지 확인하는 습관과 복습 기록 방식이 함께 점검되어야 합니다.

합성함수는 두 정의역을 차례로 확인합니다

합성함수 f(g(x))가 정의되려면 먼저 x가 g의 정의역에 있어야 하고, 그때 계산한 g(x)가 f의 정의역 안에 있어야 합니다. 두 번째 조건은 ‘안쪽 함수값이 바깥 함수에 넣을 수 있는 값인가’라는 뜻입니다. f와 g가 각각 정의되어 있다고 해서 모든 x에서 f(g(x))까지 자동으로 정의되는 것은 아닙니다.

예를 들어 f(x)=√(x-1), g(x)=3-2x라고 가정해 보겠습니다. f의 정의역은 x-1≥0이므로 x≥1이고, g는 모든 실수에서 정의됩니다. 따라서 f(g(x))에서는 3-2x가 1 이상이어야 합니다. 이 조건을 먼저 세우는 과정이 핵심이며, 단순히 최종식의 모양만 보고 판단하는 과정과 구별됩니다.

대표 문제에서 오답의 위치를 가려 봅니다

가정한 문제는 ‘f(x)=√(x-1), g(x)=3-2x일 때 f(g(x))의 정의역을 구하시오’입니다. 한 학생이 g(x)는 모든 실수에서 계산되므로 합성함수의 정의역도 모든 실수라고 썼다고 해 보겠습니다. 이 답은 g의 정의역만 확인한 것으로, f에 들어가는 값의 범위를 확인하지 못한 경우입니다.

이때 바로 정답을 말하기보다 ‘x=2를 g에 넣으면 얼마인가? 그 값을 f에 넣었을 때 루트 안은 얼마인가? √(-2)는 실수 범위에서 계산되는가?’라고 묻습니다. x=2이면 g(2)=-1이고 f(-1)=√(-2)가 되어 실수 범위에서 정의되지 않습니다. 문제 읽기에서 f(g(x))의 순서를 혼동했는지, f의 정의역 x≥1을 몰랐는지, 알고도 g(x)≥1이라는 식으로 연결하지 못했는지를 질문으로 나누어 확인할 수 있습니다.

올바른 풀이와 답은 조건을 연결해 얻습니다

f(g(x))=√((3-2x)-1)=√(2-2x)입니다. 실수 범위에서 제곱근이 정의되려면 루트 안이 0 이상이어야 하므로 2-2x≥0, 즉 x≤1입니다. 또는 바깥 함수 f의 입력 조건을 그대로 써서 g(x)≥1, 3-2x≥1, x≤1로 구해도 같은 답을 얻습니다. g는 모든 실수에서 정의되므로 추가로 제외할 x는 없고, 정의역은 x≤1입니다.

검산도 원래 조건으로 합니다. 경계값 x=1을 넣으면 g(1)=1이고 f(1)=0이므로 포함됩니다. x=0이면 g(0)=3, f(3)=√2로 정의됩니다. 반대로 x=2이면 앞서 본 것처럼 f(g(2))가 실수 범위에서 정의되지 않습니다. 몇 값을 넣어 보는 일은 전체 정의역의 증명은 아니지만, 부등식으로 구한 경계와 방향이 원래 조건에 맞는지 확인하는 검산이 됩니다.

다른 형태의 실수는 같은 이름으로 묶지 않습니다

학생이 √(2-2x)의 정의역을 x≤1로 구했다면, 처음에 g의 정의역을 따로 쓰지 않았더라도 이 문제에서는 올바른 풀이일 수 있습니다. 최종식의 제곱근 조건이 합성 조건을 정확히 반영하기 때문입니다. 반면 √(2-2x)에서 ‘2-2x는 0이 될 수 없으니 x<1’이라고 쓰면 0도 제곱근 안에 들어갈 수 있다는 개념 오류입니다.

설명 방식은 오류 위치에 맞춰 달라집니다. 순서를 자주 바꾸는 학생에게는 f(g(x))에서 먼저 g(x)에 표시를 하고 그 결과가 f의 입력 칸으로 이동하는 풀이 틀을 사용합니다. 부등식 변형에서 부호 처리가 불안한 학생에게는 3-2x≥1에서 양변에 2x를 더한 뒤 1을 빼는 한 줄씩을 쓰게 합니다. 이미 루트의 조건을 스스로 잘 찾는 학생에게는 그 강점을 이용해, ‘루트 안’이 왜 g(x)-1인지 말로 설명하게 하여 합성의 연결을 보완합니다.

새 문제는 식을 세우는 힘을 따로 확인합니다

도움을 받은 뒤에는 h(x)=1/(x+2), k(x)=x²-5라고 가정한 새 문제에서 h(k(x))의 정의역을 물어볼 수 있습니다. 여기서는 분모가 0이 되지 않아야 하므로 k(x)+2≠0이라는 조건을 학생이 스스로 세워야 합니다. 따라서 x²-3≠0, x≠±√3이 정의역 조건입니다. 교사가 k(x)+2≠0을 미리 적어 주었다면 조건 선택 능력은 확인되지 않고, 그 뒤 계산만 확인된 결과입니다.

이 문제는 제곱근 문제보다 분모 조건이라는 새로운 판단이 들어가므로 확장 활동으로 다룹니다. 앞 문제에서 x≤1을 혼자 구했더라도 합성함수 단원 전체를 이해했다고 단정하지 않습니다. 새 문제에서 안쪽 함수값을 바깥 함수의 제외값과 연결하는지, x²=3의 두 해를 모두 쓰는지, 원래 분모에 대입해 0이 아닌지 확인한 뒤 다음 자료의 난도를 정합니다.

지워진 복습은 계획에서 사라지지 않게 합니다

매주 새 계획을 쓰면서 덜 끝낸 복습을 목록에서 지우는 습관이 있으면, 이번 주에 무엇을 배웠는지는 남아도 어느 조건에서 멈췄는지가 사라집니다. 합성함수처럼 이전 개념의 연결이 필요한 주제에서는 미완료 항목을 삭제하는 방식이 다음 설명의 출발점을 흐릴 수 있습니다.

수업에서는 새 계획과 미완료 복습을 한 목록으로 섞지 않고 구분해 기록할 수 있습니다. 예를 들어 ‘새 학습: 합성함수 정의역 3문제’, ‘이어 할 복습: g(x)≥1 조건 세우기 2문제’처럼 남깁니다. 복습을 끝내지 못한 이유도 시간 부족, 조건식 작성에서 멈춤, 계산 실수 중 하나로 짧게 표시합니다. 다음 주에는 남은 항목을 무조건 처음부터 반복하기보다, 조건식은 혼자 세웠는지와 풀이 후 검산까지 했는지를 보고 유지할 부분과 보완할 부분을 정할 수 있습니다.

다음 학습에서는 f(g(x)) 한 문제를 풀기 전에 ‘g의 입력’과 ‘f에 들어갈 g(x)’를 각각 한 줄로 적고, 미완료 복습 항목은 지우지 말고 남은 이유를 함께 기록합니다.

상담에서는 최근 합성함수 풀이 중 정답과 오답이 함께 있는 문제지, 현재 주간 계획표, 지워 버린 복습을 기억나는 범위에서 적은 메모를 준비합니다. ‘루트·분모·로그가 있는 합성문제에서 어느 조건을 먼저 쓰는지’, ‘새 계획에 남은 복습을 어떤 기준으로 옮길지’, ‘다음 주에 혼자 풀어 확인할 문제 수와 기록 방식’을 물어보고 합의할 수 있습니다. 이후에는 조건식 작성, 계산, 검산 중 어느 단계가 남았는지에 따라 복습 항목의 양과 다음 확인 문제를 정합니다.