부평동 수학과외

포물선 식을 역으로 풀어 제곱근 식까지는 만들었지만, ±를 함께 쓰거나 원래 포물선 전체를 역함수의 대상으로 적는 학생이 있습니다. 계산 실수라기보다 ‘역함수는 왜 한쪽 가지에서만 가능한가’와 ‘답에 적은 범위가 무엇을 뜻하는가’를 연결하지 못한 경우가 많습니다. 부평동 수학과외를 알아볼 때에도 정답 식만 확인하기보다, 학생이 선택한 절반의 기준과 정의역·치역을 스스로 설명할 수 있는지 살펴볼 필요가 있습니다.

포물선 전체에는 왜 역함수가 바로 생기지 않을까

포물선은 같은 y값에 서로 다른 x값이 대응할 수 있습니다. 예를 들어 y=(x-2)^2-1에서 y=3을 넣으면 x=0 또는 x=4가 됩니다. 출력값 3 하나를 거꾸로 입력했을 때 두 값이 나오므로, 포물선 전체를 그대로 뒤집으면 함수가 되지 않습니다.

따라서 꼭짓점 x=2를 기준으로 x≥2인 오른쪽 절반 또는 x≤2인 왼쪽 절반 중 하나를 먼저 정해야 합니다. 어느 쪽을 택했는지는 임의로 숨기는 조건이 아니라 역함수 식의 부호와 값의 범위를 결정하는 출발점입니다.

예시 문제를 끝까지 풀어 보기

가령 ‘함수 f(x)=(x-2)^2-1의 정의역을 x≥2로 제한할 때 역함수를 구하라’는 문제를 생각해 보겠습니다. 이는 설명을 위한 가정 문제이며, 주어진 제한 x≥2가 핵심 조건입니다.

y=(x-2)^2-1에서 y+1=(x-2)^2가 됩니다. 정의역이 x≥2이므로 x-2≥0이고, 따라서 x-2=√(y+1)입니다. x=2+√(y+1)을 얻은 뒤 x와 y를 바꾸면 f⁻¹(x)=2+√(x+1)입니다. 원래 함수의 최솟값은 -1이므로 역함수의 정의역은 x≥-1, 원래 정의역 x≥2는 역함수의 치역 y≥2가 됩니다.

검산은 x=-1을 역함수에 넣어 2를 얻고, 원래 함수에 2를 넣어 -1이 되는지 확인하는 방식으로 할 수 있습니다. 또 역함수의 값 2+√(x+1)는 언제나 2 이상이므로, 원래 함수에서 정한 오른쪽 절반으로만 되돌아갑니다.

핵심 식이 맞아도 범위가 넓어진 답안

학생이 f⁻¹(x)=2±√(x+1)이라고 썼다고 가정해 보겠습니다. 제곱을 풀 때 두 경우가 나온다는 관찰 자체는 맞습니다. 그러나 이 식은 x=-1보다 큰 입력에서 두 출력값을 내므로 하나의 함수가 아니며, 오른쪽 절반만 택했다는 원래 조건도 반영하지 못합니다.

이때 ‘±를 왜 지웠니?’라고 바로 설명하기보다 ‘처음에 x≥2라고 제한한 이유는 무엇이었니?’, ‘역함수에 x=3을 넣으면 답이 몇 개니?’, ‘그 두 값 중 원래 정의역에 없는 값은 어느 쪽이니?’라고 물어볼 수 있습니다. 학생이 2-√(x+1)도 원래 포물선 전체에서는 가능한 x값이라고 답한다면, 식 변형은 가능하지만 선택한 대상의 범위를 답에 연결하지 못한 것입니다.

오답 위치를 질문으로 나누어 확인하기

같은 ± 답안도 원인이 다를 수 있습니다. 문제 읽기 단계에서는 ‘정의역을 제한하라’는 문장을 놓쳤는지, 개념 단계에서는 일대일 대응과 역함수의 관계를 설명할 수 있는지 확인합니다. 식 세우기 단계에서는 x-2의 부호를 제한 조건에서 판단하는지, 계산 단계에서는 제곱근을 취한 뒤 조건에 맞는 부호를 고르는지 살핍니다.

답 표현 단계도 별도로 봐야 합니다. 식은 2+√(x+1)로 맞게 썼지만 정의역 x≥-1을 빼거나, 역함수의 치역을 y≥2 대신 넓게 적을 수 있습니다. 반대로 왼쪽 절반 x≤2를 처음부터 골라 2-√(x+1)을 얻었다면, 오른쪽 절반의 답과 다르더라도 그 제한을 일관되게 사용한 올바른 풀이입니다.

설명과 연습을 학생 반응에 맞춰 바꾸는 방법

그래프에서 꼭짓점을 기준으로 왼쪽과 오른쪽을 구분하는 데 강한 학생이라면, 그 표시 방법을 식의 부호 판단에도 활용할 수 있습니다. x≥2에 밑줄을 긋고 x-2≥0으로 옮겨 적은 뒤 제곱근의 양의 값을 선택하게 하면, 공식을 외워 부호를 지우는 습관을 줄이는 데 도움이 됩니다.

반대로 그래프는 이해하지만 x와 y를 바꾸는 순서에서 흔들린다면, 먼저 원래 함수의 정의역·치역을 두 줄로 적고 역함수에서는 자리를 교환하는 틀을 사용합니다. 교사가 틀을 제시했을 때의 결과와, 다음 문제에서 제한 조건부터 학생이 직접 표시한 결과는 구분해 기록해야 합니다. 한 문제의 정답만으로 포물선과 역함수 단원 전체를 판단하지는 않습니다.

다음 문제로 실제로 확인할 능력

재확인 문제는 ‘g(x)=(x+1)^2+2를 x≤-1에서 정의할 때 g⁻¹(x)를 구하라’처럼 제한 조건을 문제 안에 두고, 학생이 스스로 어떤 부호를 택할지 결정하게 할 수 있습니다. y-2=(x+1)^2이고 x+1≤0이므로 x+1=-√(y-2)입니다. 따라서 g⁻¹(x)=-1-√(x-2), 정의역은 x≥2, 치역은 y≤-1입니다.

이 문제에서 교사가 식을 미리 주지 않고 학생이 제한을 표시해 부호를 고른다면 식 세우기와 범위 판단을 함께 확인할 수 있습니다. 두 번째 문제에서도 ±를 쓰면 같은 개념을 다시 설명하되, 새로 합성함수까지 넣는 활동은 난도를 높이는 확장 활동으로 따로 계획하는 편이 좋습니다. 부원여자중학교나 부평고등학교 학생처럼 학교가 달라도, 학교 이름으로 난도를 추정하기보다 실제 답안에 남은 제한 조건과 풀이 과정을 기준으로 출발점을 정할 수 있습니다.

다음 상담에서는 최근 풀이 중 ±가 남은 문제 한 개를 골라, 학생에게 ‘어느 절반을 선택했고 그 선택이 왜 이 부호를 정하는지’를 말과 식으로 각각 설명하게 해 보세요.

상담에서는 준비한 풀이를 놓고 첫째, 학생이 정의역 제한 문장을 읽고 표시하는지, 둘째, 제곱근 뒤의 부호를 어떤 근거로 고르는지, 셋째, 역함수의 정의역과 치역을 빠뜨리는지 순서대로 물어볼 수 있습니다. 그 답을 바탕으로 그래프 표시를 먼저 할지, 부등식과 부호를 문장으로 연결하는 연습을 먼저 할지 정하고, 다음 수업에서 사용할 재확인 문제의 수와 피드백 방식까지 합의할 수 있습니다.