행렬의 곱셈은 왜 일반적인 수의 곱셈과 다를까
행렬 문제를 처음 접한 고1 학생은 숫자처럼 보이는 배열을 보며 각 칸의 수를 같은 위치끼리 곱하면 된다고 생각하기 쉽습니다. 하지만 행렬의 곱셈은 두 수를 곱하는 계산이 아니라, 한 행과 다른 행렬의 한 열을 연결해 새로운 값을 만드는 과정입니다. 이 차이를 놓치면 계산 순서뿐 아니라 곱셈이 가능한지 판단하는 단계에서도 실수가 생깁니다.
먼저 행렬의 크기를 확인해야 하는 이유
행렬에는 행과 열의 개수가 있습니다. 예를 들어 2×3 행렬은 행이 2개, 열이 3개라는 뜻입니다. 두 행렬 A와 B를 곱할 때는 A의 열 개수와 B의 행 개수가 같아야 합니다. 즉 A가 2×3이고 B가 3×4라면 곱셈이 가능하며, 결과는 2×4 행렬이 됩니다.
이때 결과 행렬의 크기는 바깥쪽 숫자로 정해집니다. 앞 행렬의 행 개수와 뒤 행렬의 열 개수를 사용하기 때문입니다. 반대로 A가 2×3이고 B가 2×4라면 가운데 숫자인 3과 2가 다르므로 곱셈을 할 수 없습니다. 숫자 하나씩 계산하기 전에 크기를 확인해야 하는 이유가 여기에 있습니다.
앞 행렬의 열 개수 = 뒤 행렬의 행 개수일 때만 곱셈이 가능하고, 결과의 크기는 앞 행렬의 행 개수 × 뒤 행렬의 열 개수입니다.
각 원소는 행과 열의 대응으로 만들어진다
다음과 같은 두 행렬을 생각해 보겠습니다.
A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]]
A와 B를 곱한 결과의 첫 번째 원소는 A의 첫 번째 행과 B의 첫 번째 열을 사용합니다.
1×5 + 2×7 = 19
첫 번째 행과 두 번째 열을 사용하면 다음 원소가 나옵니다.
1×6 + 2×8 = 22
같은 방식으로 A의 두 번째 행과 B의 각 열을 연결하면 결과 행렬은 다음과 같습니다.
AB = [[19, 22], [43, 50]]
따라서 행렬 곱셈에서 한 칸의 값을 구할 때는 단순히 같은 위치의 수를 곱하는 것이 아니라, 앞 행렬의 가로줄과 뒤 행렬의 세로줄을 차례로 곱해 더해야 합니다. 계산 중에는 “지금 결과의 몇 행 몇 열을 구하고 있는가”를 표시하면 위치를 바꾸는 실수를 줄일 수 있습니다.
일반 곱셈처럼 순서를 바꿀 수 없는 까닭
일반적인 수에서는 2×3과 3×2의 결과가 같지만, 행렬에서는 보통 AB와 BA가 서로 다릅니다. 두 곱셈은 사용하는 행과 열의 조합 자체가 달라지기 때문입니다. 더 나아가 AB는 가능하지만 BA는 불가능한 경우도 있습니다.
예를 들어 A가 2×3, B가 3×4라면 AB는 2×4가 됩니다. 그러나 BA는 B의 열 4개와 A의 행 2개를 비교해야 하므로 가운데 수가 맞지 않아 계산할 수 없습니다. 이처럼 행렬에서는 식에 적힌 순서를 임의로 바꾸면 안 됩니다.
청주중앙여고고1수학과외에서 행렬을 지도할 때도 계산 결과만 확인하기보다, 학생이 먼저 행렬의 크기와 곱셈 순서를 점검하는지 살펴볼 필요가 있습니다. 결과가 맞더라도 가능한 곱인지 설명하지 못한다면 아직 계산 절차를 충분히 이해하지 못했을 수 있습니다.
자주 생기는 오류와 점검 방법
- 같은 위치끼리 곱하는 경우: 행과 열의 대응을 사용해야 하므로 첫 번째 행과 첫 번째 열부터 표시합니다.
- 행렬의 순서를 바꾸는 경우: AB와 BA는 별개의 계산이므로 문제에 적힌 순서를 유지합니다.
- 결과의 크기를 잘못 정하는 경우: 앞 행렬의 행 수와 뒤 행렬의 열 수만 확인합니다.
- 곱한 뒤 더하지 않는 경우: 대응하는 곱을 모두 계산한 다음 합하여 한 원소를 완성합니다.
- 중간 계산을 생략하는 경우: 각 원소의 계산식을 한 줄씩 적어 부호와 숫자를 확인합니다.
틀린 문제를 다시 볼 때는 답만 고치지 말고 세 부분을 나누어 확인하는 것이 좋습니다. 첫째, 두 행렬의 크기를 제대로 읽었는지 봅니다. 둘째, 계산하려는 결과 위치에 맞는 행과 열을 골랐는지 확인합니다. 셋째, 대응하는 수의 곱을 모두 더했는지 점검합니다. 오류가 어느 단계에서 시작됐는지를 알아야 다음 문제에서 같은 실수를 피할 수 있습니다.
계산보다 먼저 말로 설명해 보기
행렬 곱셈을 연습할 때는 여러 문제를 빠르게 푸는 것보다 한 문제의 계산 구조를 말로 설명해 보는 방법이 효과적입니다. 예를 들어 “결과의 1행 2열을 구하므로 앞 행렬의 1행과 뒤 행렬의 2열을 곱해 더한다”라고 말한 뒤 식을 적습니다. 이 과정을 반복하면 숫자 배열의 위치만 보고 계산하는 습관에서 벗어날 수 있습니다.
청주중앙여고고1수학과외 학습에서도 행렬의 곱셈을 일반 곱셈의 확장으로만 외우기보다, 행과 열의 연결 규칙으로 이해하는 것이 중요합니다. 문제를 푼 뒤에는 결과 행렬의 크기가 맞는지, 각 원소가 올바른 행과 열에서 만들어졌는지 다시 확인해 보세요. 이러한 점검이 익숙해지면 계산 문제가 달라져도 곱셈 가능 여부와 풀이 순서를 스스로 판단할 수 있습니다.