경우의 수 문제를 풀 때 답이 틀리는 가장 흔한 이유는 계산이 아니라 빠진 경우와 겹친 경우를 스스로 발견하지 못하는 데 있습니다. 문제를 읽고 곧바로 순열이나 조합 공식을 고르면 일부 상황만 세고 지나가기 쉽습니다. 천안여자상업고고1수학과외에서 경우의 수를 다룰 때도 먼저 확인하는 것은 공식이 아니라 “가능한 상황을 어떤 기준으로 나누면 빠짐없이 셀 수 있는가”입니다.
경우를 세기 전에 전체 상황을 말로 바꾸기
예를 들어 여러 명 중 일부를 뽑아 줄을 세우는 문제라면, 학생은 자주 숫자와 공식을 먼저 찾습니다. 하지만 그 전에 해야 할 일은 무엇을 정하는 문제인지 구분하는 것입니다. 사람을 선택하는지, 선택한 사람의 순서를 정하는지, 특정 사람이 반드시 포함되는지, 같은 대상이 반복될 수 있는지를 문장으로 정리해야 합니다.
문제의 조건을 다음처럼 짧게 바꾸어 적으면 경우를 나누는 기준이 선명해집니다.
- 누구를 선택하는가?
- 선택한 뒤 순서나 위치가 중요한가?
- 반드시 포함되거나 제외되는 대상이 있는가?
- 같은 결과를 다른 순서로 세고 있지는 않은가?
이 질문에 답하지 않고 공식을 적용하면 계산은 맞아 보여도 문제의 대상과 다른 것을 세게 됩니다. 반대로 조건을 평범한 말로 정리하면 이후의 분류 기준을 세우기 쉬워집니다.
빠짐없이 세는 첫 번째 기준은 서로 겹치지 않는 분류다
경우를 나눌 때는 각 경우가 서로 겹치지 않아야 합니다. 예를 들어 어떤 자리에 여학생이 앉는 경우와 안 앉는 경우처럼 한 결과가 한쪽에만 들어가도록 나누면 중복을 피할 수 있습니다. 반면 “첫 번째 사람이 특정 대상인 경우”와 “특정 대상이 포함된 경우”처럼 기준의 범위가 다르면 한 결과가 두 분류에 동시에 들어갈 수 있습니다.
따라서 분류한 뒤에는 각 결과가 정확히 한 곳에만 들어가는지 확인해야 합니다. 학생에게는 “이 결과를 두 분류에 모두 적을 수 있는가?”라고 묻습니다. 그렇다고 답할 수 있다면 분류 기준을 다시 정해야 합니다. 경우의 수에서 더하기를 사용할 때는 특히 이 점이 중요합니다. 서로 겹치지 않는 경우를 나눈 뒤 각각의 수를 더해야 전체를 정확히 얻을 수 있습니다.
모든 가능성을 포함했는지 확인하는 방법
빠진 경우를 줄이려면 분류 기준을 한 번 정한 뒤, 그 기준의 선택지가 정말 전부인지 말로 나열해 보는 것이 좋습니다. 예를 들어 세 자리 자연수를 만들면서 백의 자리 숫자를 기준으로 나눈다면, 백의 자리에 올 수 있는 숫자를 가능한 범위에서 빠짐없이 적어야 합니다. 특정 숫자가 들어가는 경우와 들어가지 않는 경우로 나눴다면 두 경우가 전체를 모두 덮는지도 확인합니다.
이때 “아마 이 정도면 되겠지”라는 감각에 의존하지 말고 표나 나무 그림을 활용할 수 있습니다. 첫 번째 선택을 왼쪽에 적고, 그 선택 뒤에 가능한 두 번째 선택을 가지처럼 연결합니다. 마지막 선택까지 내려가면 하나의 끝점이 하나의 결과가 됩니다. 끝점을 세어 보면 어떤 경우를 빠뜨렸는지, 같은 결과를 두 번 적었는지 눈으로 확인할 수 있습니다.
다만 나무 그림을 무조건 길게 그릴 필요는 없습니다. 선택지가 적을 때는 효과적이지만, 같은 구조가 반복되는 문제에서는 첫 번째 선택의 종류를 나눈 뒤 각 경우의 수를 곱하는 방식이 더 효율적입니다. 중요한 것은 그림 자체가 아니라, 각각의 가지가 서로 다른 결과를 나타내고 전체 결과를 빠짐없이 포함하는지입니다.
곱셈과 덧셈을 구분하는 기준
경우의 수에서 덧셈과 곱셈을 혼동하는 학생은 계산법보다 상황의 흐름을 먼저 살펴야 합니다. “A인 경우 또는 B인 경우”처럼 서로 다른 경우 중 하나를 선택하는 상황은 더합니다. 반면 “첫 번째 선택을 한 뒤 두 번째 선택을 이어서 하는” 상황은 각 단계의 선택을 곱합니다.
예를 들어 의상에서 상의와 하의를 각각 고르는 문제는 상의 하나를 고른 뒤 하의를 고르는 흐름이므로 곱셈으로 연결합니다. 반대로 운동복을 고르는 경우와 교복을 고르는 경우처럼 결과가 서로 다른 선택지로 나뉘면 각각을 센 뒤 더합니다. 여기서도 두 경우에 같은 결과가 포함되지 않는지 먼저 살펴야 합니다.
복잡한 문제는 덧셈과 곱셈이 함께 나타납니다. 이때는 “어디에서 경우를 나누었는가”와 “각 경우 안에서 어떤 선택을 연속으로 했는가”를 구분해 식을 세워야 합니다. 식을 세운 뒤에도 각 항이 어떤 상황을 의미하는지 설명할 수 있어야 합니다.
중복을 막기 위해 결과를 한 가지 방식으로만 기록하기
같은 사람을 뽑는 문제라도 순서를 먼저 정해 세면 같은 선택을 여러 번 세게 될 수 있습니다. 예를 들어 A와 B를 뽑은 결과를 A 다음 B로 한 번, B 다음 A로 또 세었다면 실제 선택 결과는 하나인데 계산에서는 두 개가 됩니다. 이런 문제에서는 애초에 이름순, 번호순, 왼쪽에서 오른쪽처럼 기록 순서를 하나로 정해 두면 중복을 줄일 수 있습니다.
자리 배치처럼 순서가 실제 결과를 바꾸는 문제라면 두 배열을 다르게 세어야 하지만, 단순히 팀원을 고르는 문제라면 순서를 바꾸어도 같은 결과인지 확인해야 합니다. 학생이 공식의 종류를 외우기 전에 “순서를 바꾸면 새로운 결과인가?”를 판단하게 하는 이유가 여기에 있습니다.
풀이 후 검산은 답이 아니라 분류를 확인하는 과정
경우의 수의 검산은 계산 결과만 다시 곱하는 것으로 충분하지 않습니다. 먼저 내가 나눈 경우를 다시 읽고, 각 경우에 대표적인 결과를 하나씩 적어 봅니다. 모든 결과가 어느 한 분류에 들어가는지, 두 분류에 동시에 들어가는 결과는 없는지 확인합니다.
가능하다면 전혀 다른 기준으로 다시 세어 보는 것도 좋습니다. 처음에는 특정 대상의 포함 여부로 나누었다면, 다음에는 첫 번째 위치나 선택 단계로 나누어 같은 결과가 나오는지 비교할 수 있습니다. 두 풀이가 다를 때는 계산 실수보다 분류가 잘못되었을 가능성을 먼저 살펴야 합니다.
천안여자상업고고1수학과외에서 경우의 수를 연습할 때는 문제를 많이 푸는 것보다 한 문제를 세 가지 질문으로 점검하는 과정이 중요합니다. “무엇을 기준으로 나누었는가?”, “각 경우가 서로 겹치지 않는가?”, “가능한 모든 상황이 들어갔는가?”를 풀이 옆에 적어 보면 공식만 따라가던 습관을 줄일 수 있습니다.
결국 빠짐없이 세는 능력은 특별한 요령보다 결과를 분류하는 기준을 분명히 세우는 데서 시작됩니다. 답을 구한 뒤에도 식의 숫자만 보지 말고, 그 숫자가 어떤 경우들을 대표하는지 설명할 수 있어야 합니다. 이 과정을 반복하면 새로운 조건이 붙은 문제에서도 무작정 공식을 찾기보다 전체 상황을 나누고 확인하는 풀이를 시작할 수 있습니다.