복잡한 경우의 수에서 경우를 나누는 기준
경우의 수 문제를 풀 때 계산 공식은 떠오르는데도 답을 시작하지 못하는 학생이 있습니다. 조건이 여러 개 붙으면 모든 가능성을 한꺼번에 세려고 하기 때문입니다. 하지만 복잡한 문제일수록 처음부터 전체를 세려 하지 말고, 서로 겹치지 않는 작은 경우로 나누어야 합니다. 부평여고고1수학과외에서 경우의 수를 지도할 때도 공식 암기보다 ‘무엇을 기준으로 나눌 것인가’를 먼저 확인합니다.
경우를 나누기 전에 구하는 대상을 정확히 확인하기
가장 먼저 해야 할 일은 문제에서 세려는 대상이 무엇인지 한 문장으로 바꾸는 것입니다. 사람을 배열하는지, 숫자를 만드는지, 물건을 선택하는지에 따라 나누는 기준이 달라집니다. 예를 들어 여러 명을 한 줄로 세우는 문제라면 특정 사람이 맨 앞에 오는지, 두 사람이 붙어 있는지처럼 위치와 관련된 조건을 먼저 살펴볼 수 있습니다. 숫자를 만드는 문제라면 첫 자리, 홀짝, 특정 숫자의 포함 여부가 기준이 될 수 있습니다.
문제를 읽자마자 곱셈법칙이나 조합을 고르기보다 다음과 같이 적어보는 것이 좋습니다.
- 무엇을 하나의 경우로 볼 것인가?
- 반드시 지켜야 하는 조건은 무엇인가?
- 전체를 나눌 수 있는 가장 분명한 기준은 무엇인가?
이 세 가지가 정리되면 복잡하게 보이던 문장이 실제로는 몇 개의 작은 문제로 바뀝니다.
좋은 분할은 서로 겹치지 않고 빠지는 경우가 없어야 한다
경우를 나누는 과정에서 가장 흔한 오류는 같은 경우를 두 번 세거나 일부 경우를 빠뜨리는 것입니다. 예를 들어 어떤 대상을 ‘A를 포함하는 경우’와 ‘B를 포함하는 경우’로 나누면 A와 B를 모두 포함하는 경우가 양쪽에 들어갈 수 있습니다. 이때는 두 경우가 겹치는지 확인해야 합니다.
안전한 기준은 한 대상을 기준으로 ‘포함하는 경우’와 ‘포함하지 않는 경우’처럼 서로 반대가 되도록 정하는 것입니다. 또는 첫 번째 위치에 들어가는 숫자를 기준으로 1인 경우, 2인 경우, 3인 경우처럼 나눌 수도 있습니다. 각 경우가 서로 겹치지 않고 모든 가능성을 포함한다면, 각각의 수를 더해 전체 경우의 수를 구할 수 있습니다.
경우를 나눈 뒤에는 “이 경우와 저 경우가 동시에 가능한가?”, “어떤 경우도 빠지지 않았는가?”를 반드시 확인해야 합니다.
가장 먼저 고정할 조건을 찾아보기
조건이 많은 문제에서는 한 번에 여러 조건을 처리하려고 하면 풀이가 꼬입니다. 이때는 문제의 결과를 크게 바꾸는 조건부터 하나씩 고정하는 방법이 효과적입니다. 숫자를 만드는 문제라면 첫 자리를 먼저 정하고, 배열 문제라면 특정한 위치나 붙어 있어야 하는 대상을 먼저 정합니다.
예를 들어 첫 자리에 올 수 있는 숫자가 제한되어 있다면 첫 자리의 선택에 따라 뒤의 선택 가능성이 달라집니다. 첫 자리가 정해진 뒤에는 남은 자리에 들어갈 수를 세면 됩니다. 첫 자리에 올 수 있는 값이 여러 개라면 각각의 경우를 따로 계산한 뒤 합칩니다. 중요한 것은 첫 자리를 정한 뒤에도 같은 조건이 남은 자리에서 계속 적용되는지 확인하는 것입니다.
조건을 하나 고정했다고 해서 나머지 조건을 잊어도 되는 것은 아닙니다. ‘짝수 만들기’라는 조건이 있다면 마지막 자리의 숫자에 영향을 줄 수 있고, ‘중복 없이 선택’이라는 조건이 있다면 앞에서 사용한 대상을 뒤에서 다시 사용할 수 없습니다.
작은 표와 나무 그림으로 경우를 눈에 보이게 만들기
머릿속으로만 경우를 나누면 빠진 경우를 찾기 어렵습니다. 선택의 순서가 분명한 문제는 나무 그림을 활용할 수 있습니다. 첫 번째 선택에서 가능한 가지를 만들고, 각 가지에서 두 번째 선택을 이어 붙이는 방식입니다. 같은 선택을 반복할 수 없는 경우에는 이미 사용한 대상을 다음 단계에서 제외합니다.
표를 이용하는 방법도 있습니다. 행에는 첫 번째 조건을, 열에는 두 번째 조건을 적고 각 칸에 가능한 경우를 기록합니다. 조건이 겹치는 칸이 있는지 확인하기 쉽고, 특정 조건을 만족하는 칸만 세면 되므로 복잡한 문장을 정리하는 데 도움이 됩니다.
다만 모든 문제를 그림으로 길게 나타낼 필요는 없습니다. 경우가 적을 때는 직접 나열하고, 선택 단계가 반복되거나 조건이 많을 때만 표나 나무 그림을 사용하는 것이 효율적입니다.
더 작은 문제로 바꿔 직접 확인하기
문제가 너무 복잡하게 느껴진다면 숫자나 대상의 수를 줄여 같은 구조의 간단한 문제를 만들어보는 것도 좋습니다. 원래 네 자리 숫자를 만드는 문제라면 두 자리 숫자를 만드는 상황으로 줄여 봅니다. 여러 명을 배열하는 문제라면 세 명만 놓고 조건이 어떻게 적용되는지 확인합니다.
작은 문제에서 경우가 어떻게 나뉘는지 확인하면 원래 문제의 기준도 자연스럽게 드러납니다. 특히 ‘적어도 하나 포함’, ‘서로 붙어 있지 않음’, ‘특정 조건을 만족하는 경우’처럼 문장이 복잡한 문제에서 효과적입니다. 작은 예를 통해 직접 나열한 결과와 공식으로 계산한 결과가 일치하는지도 확인할 수 있습니다.
더하기와 곱하기를 구분하는 순간
경우를 나눈 뒤 각각의 경우를 더해야 하는지, 한 경우 안에서 곱해야 하는지도 구분해야 합니다. A인 경우와 B인 경우처럼 서로 다른 상황으로 나눈 것이라면 각 상황의 수를 더합니다. 반면 한 상황 안에서 첫 번째 선택과 두 번째 선택을 차례로 해야 한다면 선택 수를 곱합니다.
예를 들어 첫 자리를 정한 뒤 두 번째 자리를 정하는 과정은 한 경로 안에서 이어지는 선택이므로 곱셈으로 계산합니다. 첫 자리가 홀수인 경우와 짝수인 경우처럼 전체를 구분한 경우는 두 상황을 합쳐야 하므로 덧셈을 사용합니다. 식을 세우기 전에 ‘지금 나는 경우를 나누고 있는가, 한 경우 안의 선택을 이어가고 있는가’를 말로 확인해보면 혼동이 줄어듭니다.
풀이가 끝난 뒤 빠진 경우를 검산하는 방법
경우의 수에서는 계산 결과보다 분류의 정확성이 더 중요할 때가 많습니다. 답을 구한 뒤에는 각 분류를 다시 살펴보며 실제 예를 하나씩 만들어보는 것이 좋습니다. 특정 경우에 해당하는 예가 존재하는지, 같은 예가 다른 분류에도 들어가는지 확인합니다.
또한 조건을 하나씩 지웠을 때 경우의 수가 어떻게 달라지는지도 점검할 수 있습니다. ‘중복을 허용하지 않는다’는 조건을 빼면 경우의 수가 늘어나는지, ‘특정 숫자를 반드시 포함한다’는 조건을 빼면 더 많은 경우가 생기는지 확인하는 방식입니다. 결과의 변화가 조건의 방향과 맞지 않는다면 분류나 계산 과정을 다시 살펴봐야 합니다.
부평여고고1수학과외에서 경우의 수를 공부할 때는 어려운 문제를 오래 붙잡는 것보다, 문제를 어떤 기준으로 나누었는지 설명하는 연습이 중요합니다. 풀이를 마친 뒤 “나는 무엇을 기준으로 나누었고, 각 경우가 왜 겹치지 않는가”를 말할 수 있다면 복잡한 문제도 작은 문제들의 합으로 정리할 수 있습니다.