합의 법칙과 곱의 법칙을 헷갈리는 이유
경우의 수 문제를 풀 때 계산은 맞았는데 답이 틀리는 학생은 공식 자체보다 상황의 구조를 잘못 읽은 경우가 많습니다. 특히 합의 법칙과 곱의 법칙은 모두 여러 경우를 세는 데 사용되지만, 경우 사이의 관계가 다릅니다. 선택지가 서로 나뉘어 하나만 고르는 상황인지, 여러 절차를 차례로 거쳐야 하는 상황인지 먼저 판단해야 합니다.
부개고고1수학과외에서 이 내용을 다룰 때도 공식을 바로 외우게 하기보다 문제의 문장을 행동의 순서로 바꾸어 읽는 연습을 먼저 합니다. “A 또는 B”처럼 여러 방법 중 하나를 선택하는지, “A를 한 뒤 B를 선택한다”처럼 선택이 이어지는지를 구분하면 두 법칙의 사용 기준이 분명해집니다.
합의 법칙은 서로 겹치지 않는 선택지를 더하는 것
합의 법칙은 어떤 일을 하는 방법이 여러 갈래로 나뉘고, 그중 한 가지 방법만 선택할 때 사용합니다. 예를 들어 학교 행사에 참여하는 방법이 오전 프로그램 3가지 또는 오후 프로그램 4가지라면 가능한 방법은 3+4로 셉니다. 오전과 오후 프로그램을 동시에 선택하는 것이 아니라 둘 중 하나의 방식으로 참여한다고 해석하기 때문입니다.
이때 핵심 표현은 ‘또는’입니다. 다만 문제에 ‘또는’이 있다고 무조건 더하는 것은 아닙니다. 두 경우가 겹치는지 확인해야 합니다. 어떤 책을 고르는데 소설 5권 또는 한국 작가의 책 3권이라고 했을 때, 소설 5권 안에 한국 작가의 책이 포함될 수 있다면 단순히 5+3을 할 수 없습니다. 같은 대상을 두 번 센 것은 아닌지 살펴야 합니다.
따라서 합의 법칙을 적용하기 전에는 다음처럼 경우를 나누어 적어 보는 것이 좋습니다.
- 가능한 방법을 서로 다른 갈래로 나눈다.
- 각 갈래에서 선택하는 대상의 수를 센다.
- 두 갈래에 같은 대상이 포함되지 않는지 확인한다.
- 한 갈래만 선택하는 상황인지 문장으로 다시 읽는다.
곱의 법칙은 선택이 차례로 이어지는 것
곱의 법칙은 한 가지 일을 완성하기 위해 여러 선택을 연속해서 해야 할 때 사용합니다. 예를 들어 상의 3벌 중 하나와 하의 4벌 중 하나를 골라 옷차림을 정한다면 전체 경우의 수는 3×4입니다. 상의를 고른 뒤 하의를 다시 선택하므로 첫 번째 선택마다 두 번째 선택이 이어집니다.
비밀번호가 숫자 2개와 알파벳 1개로 이루어진다고 할 때도 각 자리의 선택이 계속 연결됩니다. 첫 번째 숫자 선택, 두 번째 숫자 선택, 알파벳 선택을 순서대로 세어야 하므로 각각의 선택 수를 곱합니다. 여기서 순서가 실제로 중요한지는 문제 조건에 따라 달라지지만, 여러 단계를 모두 거쳐 하나의 결과를 만든다는 점이 곱셈의 근거입니다.
곱의 법칙을 사용할 때는 “첫 번째 선택을 한 뒤 무엇을 더 선택하는가?”라고 질문해 보세요. 다음 선택이 반드시 이어지고, 앞의 선택마다 뒤의 선택이 반복된다면 곱셈을 생각할 수 있습니다. 반대로 여러 방법 중 하나만 택하는 상황이라면 곱셈을 먼저 적용해서는 안 됩니다.
문장을 선택의 구조로 바꾸어 읽기
두 법칙을 구분하기 어려운 이유는 문제의 숫자보다 문장의 구조를 먼저 보지 않기 때문입니다. “버스 2가지 또는 지하철 3가지로 이동한다”는 한 가지 교통수단을 고르는 문제이므로 2+3입니다. 반면 “집에서 역까지 버스 2가지 중 하나를 타고, 역에서 학교까지 지하철 3가지 중 하나를 이용한다”면 두 선택을 모두 해야 하므로 2×3입니다.
같은 숫자가 등장해도 관계가 달라지면 계산법이 달라집니다. 문제를 읽은 뒤 숫자에 바로 기호를 붙이지 말고, 먼저 다음과 같이 말로 정리해 보세요.
한 번의 결과가 여러 갈래 중 하나로 만들어지는가, 아니면 여러 선택을 모두 거쳐 만들어지는가?
‘A 또는 B’로 나뉘면 합의 법칙, ‘A를 선택하고 이어서 B를 선택한다’면 곱의 법칙이라는 식으로 문장을 바꾸면 공식에 의존하지 않고 판단할 수 있습니다. 단, 경우가 여러 갈래로 나뉘면서 각 갈래 안에 또 다른 선택이 포함될 수도 있습니다. 이때는 각 갈래 내부에서 곱한 뒤, 갈래끼리는 더합니다.
합과 곱이 함께 나오는 문제의 처리
예를 들어 간식 세트를 만드는 방법이 과일 2종과 음료 3종을 함께 고르는 경우, 또는 샌드위치 4종 중 하나를 고르는 경우로 나뉜다고 하겠습니다. 첫 번째 방법은 과일과 음료를 모두 선택하므로 2×3이고, 두 번째 방법은 4가지입니다. 두 방법 중 하나만 선택한다면 전체 경우의 수는 (2×3)+4가 됩니다.
이런 문제에서 실수하는 학생은 숫자만 보고 전부 곱하거나 전부 더합니다. 먼저 큰 경우를 나누고, 각 경우 안에서 선택이 이어지는지 살펴야 합니다. 풀이에 괄호를 사용해 “첫 번째 경우의 수 + 두 번째 경우의 수”를 표시하면 계산의 의미가 드러납니다. 답을 구한 뒤에도 각 결과가 어떤 경로로 만들어졌는지 설명할 수 있어야 합니다.
틀린 풀이에서 확인할 부분
합의 법칙과 곱의 법칙을 잘못 사용한 문제를 다시 볼 때는 계산 결과만 고치지 말아야 합니다. 먼저 자신이 문제를 어떤 상황으로 해석했는지 적습니다. ‘둘 중 하나만 고르는 문제를 모두 거치는 것으로 생각했는가’, ‘여러 단계를 거쳐야 하는데 선택지를 단순히 더했는가’를 확인하면 오류의 원인을 찾을 수 있습니다.
특히 곱셈을 사용한 풀이에서는 각 단계가 실제로 독립적인 선택인지, 앞의 선택에 따라 뒤의 선택 수가 달라지는지를 살펴야 합니다. 뒤의 선택 수가 달라진다면 같은 수를 반복해서 곱하지 말고 앞선 선택별로 나누어 세어야 합니다. 반대로 합을 사용한 풀이에서는 나눈 경우가 서로 겹치지 않는지 점검해야 합니다.
부개고고1수학과외에서 재풀이할 때는 해설을 덮고 문제의 조건에 밑줄을 긋습니다. ‘또는’, ‘그리고’, ‘각각’, ‘한 가지를 선택한 후’와 같은 표현을 표시한 뒤, 경우를 나누어 표나 간단한 가지 그림으로 나타냅니다. 그림을 완성한 다음에야 덧셈과 곱셈을 식으로 옮기면 기호를 잘못 선택하는 일이 줄어듭니다.
문제를 푼 뒤 스스로 확인하는 질문
- 각 결과는 여러 방법 중 하나만 선택한 것인가?
- 하나의 결과를 만들기 위해 선택을 모두 진행했는가?
- 나눈 경우 사이에 같은 결과가 겹치지 않는가?
- 각 단계의 선택 수를 같은 값으로 보아도 되는가?
- 식의 덧셈과 곱셈이 문제의 문장 어디에 해당하는가?
이 질문에 답하지 못한 채 공식만 적용하면 숫자가 바뀐 문제에서 다시 막히기 쉽습니다. 반대로 문제의 선택 구조를 말로 설명하고, 경우를 나눈 이유와 곱한 이유를 풀이에 남기면 새로운 표현에도 대응하기 쉬워집니다. 합의 법칙과 곱의 법칙을 구분하는 핵심은 암기가 아니라 ‘하나를 고르는가, 모두 이어서 고르는가’를 정확히 읽는 데 있습니다.